90°+θ，180°+θなどの三角比の公式と覚え方

三角関数の還元公式一覧およびその覚え方（導出方法）を解説します。

三角関数の還元公式

〜 90∘−θ90^{\circ}-\theta（余角）の公式〜

  • sin⁡(90∘−θ)=cos⁡θ\sin(90^{\circ}-\theta)=\cos\theta
  • cos⁡(90∘−θ)=sin⁡θ\cos(90^{\circ}-\theta)=\sin\theta
  • tan⁡(90∘−θ)=1tan⁡θ\tan(90^{\circ}-\theta)=\dfrac{1}{\tan\theta}

〜 90∘+θ90^{\circ}+\theta の公式〜

  • sin⁡(90∘+θ)=cos⁡θ\sin(90^{\circ}+\theta)=\cos\theta
  • cos⁡(90∘+θ)=−sin⁡θ\cos(90^{\circ}+\theta)=-\sin\theta
  • tan⁡(90∘+θ)=−1tan⁡θ\tan(90^{\circ}+\theta)=-\dfrac{1}{\tan\theta}

〜 180∘−θ180^{\circ}-\theta（補角）の公式〜

  • sin⁡(180∘−θ)=sin⁡θ\sin(180^{\circ}-\theta)=\sin\theta
  • cos⁡(180∘−θ)=−cos⁡θ\cos(180^{\circ}-\theta)=-\cos\theta
  • tan⁡(180∘−θ)=−tan⁡θ\tan(180^{\circ}-\theta)=-\tan\theta

〜 180∘+θ180^{\circ}+\theta の公式〜

  • sin⁡(180∘+θ)=−sin⁡θ\sin(180^{\circ}+\theta)=-\sin\theta
  • cos⁡(180∘+θ)=−cos⁡θ\cos(180^{\circ}+\theta)=-\cos\theta
  • tan⁡(180∘+θ)=tan⁡θ\tan(180^{\circ}+\theta)=\tan\theta

〜 360∘+θ360^{\circ}+\theta の公式〜

  • sin⁡(360∘+θ)=sin⁡θ\sin(360^{\circ}+\theta)=\sin\theta
  • cos⁡(360∘+θ)=cos⁡θ\cos(360^{\circ}+\theta)=\cos\theta
  • tan⁡(360∘+θ)=tan⁡θ\tan(360^{\circ}+\theta)=\tan\theta

〜−θ-\theta（負角）の公式〜

  • sin⁡(−θ)=−sin⁡θ\sin(-\theta)=-\sin\theta
  • cos⁡(−θ)=cos⁡θ\cos(-\theta)=\cos\theta
  • tan⁡(−θ)=−tan⁡θ\tan(-\theta)=-\tan\theta

導出

方法1.加法定理を使う方法

加法定理を使えば全て導けます。

例として 90∘+θ90^{\circ}+\theta の公式を導出します。

証明

sin⁡(90∘+θ)=sin⁡90∘cos⁡θ+cos⁡90∘sin⁡θ=cos⁡θ\begin{aligned}&\sin(90^{\circ}+\theta)\\ &=\sin 90^{\circ}\cos\theta+\cos 90^{\circ}\sin\theta\\ &=\cos\theta\end{aligned} cos⁡(90∘+θ)=cos⁡90∘cos⁡θ−sin⁡90∘sin⁡θ=−sin⁡θ\begin{aligned}&\cos(90^{\circ}+\theta)\\&=\cos 90^{\circ}\cos\theta-\sin 90^{\circ}\sin\theta\\ &=-\sin\theta\end{aligned} tan⁡(90∘+θ)=sin⁡(90∘+θ)cos⁡(90∘+θ)=cos⁡θ−sin⁡θ=−1tan⁡θ\begin{aligned}&\tan(90^{\circ}+\theta)\\&=\dfrac{\sin(90^{\circ}+\theta)}{\cos(90^{\circ}+\theta)}\\ &=\dfrac{\cos\theta}{-\sin\theta}\\ &=-\dfrac{1}{\tan\theta}\end{aligned}

方法2.関数の形と符号を見る方法

これは証明というより覚え方です。慣れたらかなり早く導出できます。

1.関数の形

  • 180∘180^{\circ} の整数倍が絡むものは関数の形が変化しない
  • 90∘90^{\circ} の奇数倍が絡むものは sin⁡  ⟺  cos⁡\sin\iff \cos，tan⁡  ⟺  1tan⁡\tan\iff\dfrac{1}{\tan} と変化する

2.符号

  • θ\theta に鋭角を代入して符号を確認します。
例

sin⁡(180∘+θ)\sin (180^{\circ}+\theta)

1．関数形は変化しない（sin⁡\sin のまま）

2． θ\theta に鋭角を入れると sin⁡(180∘+θ)\sin(180^{\circ}+\theta) は負なので符号はマイナス

つまり，sin⁡(180∘+θ)=−sin⁡θ\sin(180^{\circ}+\theta)=-\sin\theta

例

tan⁡(90∘−θ)\tan(90^{\circ}-\theta)

1．関数形が 1tan⁡θ\dfrac{1}{\tan\theta} に変化する

2． θ\theta に鋭角を入れると tan⁡(90∘−θ)\tan(90^{\circ}-\theta) は正なので符号はプラス

つまり，tan⁡(90∘−θ)=1tan⁡θ\tan(90^{\circ}-\theta)=\dfrac{1}{\tan\theta}

導出方法2は私が高校生のとき先生に教えてもらった方法です。

Tag:数学2の教科書に載っている公式の解説一覧

関連記事

サムネイル

数学２の教科書に載っている公式の解説一覧

サムネイル

複素数の存在意義と様々な例

サムネイル

グラフの平行移動（具体例と公式の証明）

サムネイル

期待値と分散に関する公式一覧

サムネイル

平方完成のやり方といくつかの発展形

サムネイル

平方根の長さを作図する２通りの方法

人気記事

サムネイル

平均値，中央値，最頻値の求め方といくつかの例

サムネイル

共分散の意味と簡単な求め方

サムネイル

部分分数分解の３通りの方法

サムネイル

放物線と直線で囲まれた面積を高速で求める1/6公式

サムネイル

リーマン予想の意味，素数分布との関係

サムネイル

判別式まとめ【2次方程式の実数解・x軸との共有点の個数】

この記事に関連するQ&A

$$ \cos{\alpha} =2 \cos^2 \dfrac{\alpha}{2}-1 $$ の式変形はなぜ？ 1
数Ⅱの微分と数Ⅲの微分の違いを教えていただきたいです！ 2
無限等比数列と無限等比級数の違いを教えていただきたいです！！ 3
積分ガチャの超級の問題なんですけど、自分の答えと回答が微妙に違っているんですがどこが違うかどなたか教えていただけませんか 4
数Ⅲの質問です。画像の問題を教えていただきたいです。全くわからないので、初心者向けの解説をお願いしたいです…🤲 5