90°+θ，180°+θなどの三角比の公式と覚え方

三角関数の還元公式一覧およびその覚え方（導出方法）を解説します。

三角関数の還元公式

〜 90∘−θ90^{\circ}-\theta（余角）の公式〜

  • sin⁡(90∘−θ)=cos⁡θ\sin(90^{\circ}-\theta)=\cos\theta
  • cos⁡(90∘−θ)=sin⁡θ\cos(90^{\circ}-\theta)=\sin\theta
  • tan⁡(90∘−θ)=1tan⁡θ\tan(90^{\circ}-\theta)=\dfrac{1}{\tan\theta}

〜 90∘+θ90^{\circ}+\theta の公式〜

  • sin⁡(90∘+θ)=cos⁡θ\sin(90^{\circ}+\theta)=\cos\theta
  • cos⁡(90∘+θ)=−sin⁡θ\cos(90^{\circ}+\theta)=-\sin\theta
  • tan⁡(90∘+θ)=−1tan⁡θ\tan(90^{\circ}+\theta)=-\dfrac{1}{\tan\theta}

〜 180∘−θ180^{\circ}-\theta（補角）の公式〜

  • sin⁡(180∘−θ)=sin⁡θ\sin(180^{\circ}-\theta)=\sin\theta
  • cos⁡(180∘−θ)=−cos⁡θ\cos(180^{\circ}-\theta)=-\cos\theta
  • tan⁡(180∘−θ)=−tan⁡θ\tan(180^{\circ}-\theta)=-\tan\theta

〜 180∘+θ180^{\circ}+\theta の公式〜

  • sin⁡(180∘+θ)=−sin⁡θ\sin(180^{\circ}+\theta)=-\sin\theta
  • cos⁡(180∘+θ)=−cos⁡θ\cos(180^{\circ}+\theta)=-\cos\theta
  • tan⁡(180∘+θ)=tan⁡θ\tan(180^{\circ}+\theta)=\tan\theta

〜 360∘+θ360^{\circ}+\theta の公式〜

  • sin⁡(360∘+θ)=sin⁡θ\sin(360^{\circ}+\theta)=\sin\theta
  • cos⁡(360∘+θ)=cos⁡θ\cos(360^{\circ}+\theta)=\cos\theta
  • tan⁡(360∘+θ)=tan⁡θ\tan(360^{\circ}+\theta)=\tan\theta

〜−θ-\theta（負角）の公式〜

  • sin⁡(−θ)=−sin⁡θ\sin(-\theta)=-\sin\theta
  • cos⁡(−θ)=cos⁡θ\cos(-\theta)=\cos\theta
  • tan⁡(−θ)=−tan⁡θ\tan(-\theta)=-\tan\theta

導出

方法1.加法定理を使う方法

加法定理を使えば全て導けます。

例として 90∘+θ90^{\circ}+\theta の公式を導出します。

証明

sin⁡(90∘+θ)=sin⁡90∘cos⁡θ+cos⁡90∘sin⁡θ=cos⁡θ\begin{aligned}&\sin(90^{\circ}+\theta)\\ &=\sin 90^{\circ}\cos\theta+\cos 90^{\circ}\sin\theta\\ &=\cos\theta\end{aligned} cos⁡(90∘+θ)=cos⁡90∘cos⁡θ−sin⁡90∘sin⁡θ=−sin⁡θ\begin{aligned}&\cos(90^{\circ}+\theta)\\&=\cos 90^{\circ}\cos\theta-\sin 90^{\circ}\sin\theta\\ &=-\sin\theta\end{aligned} tan⁡(90∘+θ)=sin⁡(90∘+θ)cos⁡(90∘+θ)=cos⁡θ−sin⁡θ=−1tan⁡θ\begin{aligned}&\tan(90^{\circ}+\theta)\\&=\dfrac{\sin(90^{\circ}+\theta)}{\cos(90^{\circ}+\theta)}\\ &=\dfrac{\cos\theta}{-\sin\theta}\\ &=-\dfrac{1}{\tan\theta}\end{aligned}

方法2.関数の形と符号を見る方法

これは証明というより覚え方です。慣れたらかなり早く導出できます。

1.関数の形

  • 180∘180^{\circ} の整数倍が絡むものは関数の形が変化しない
  • 90∘90^{\circ} の奇数倍が絡むものは sin⁡  ⟺  cos⁡\sin\iff \cos，tan⁡  ⟺  1tan⁡\tan\iff\dfrac{1}{\tan} と変化する

2.符号

  • θ\theta に鋭角を代入して符号を確認します。
例

sin⁡(180∘+θ)\sin (180^{\circ}+\theta)

1．関数形は変化しない（sin⁡\sin のまま）

2． θ\theta に鋭角を入れると sin⁡(180∘+θ)\sin(180^{\circ}+\theta) は負なので符号はマイナス

つまり，sin⁡(180∘+θ)=−sin⁡θ\sin(180^{\circ}+\theta)=-\sin\theta

例

tan⁡(90∘−θ)\tan(90^{\circ}-\theta)

1．関数形が 1tan⁡θ\dfrac{1}{\tan\theta} に変化する

2． θ\theta に鋭角を入れると tan⁡(90∘−θ)\tan(90^{\circ}-\theta) は正なので符号はプラス

つまり，tan⁡(90∘−θ)=1tan⁡θ\tan(90^{\circ}-\theta)=\dfrac{1}{\tan\theta}

導出方法2は私が高校生のとき先生に教えてもらった方法です。

Tag:数学2の教科書に載っている公式の解説一覧

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