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90°+θ,180°+θなどの三角比の公式と覚え方

更新日時 2021/03/07

三角関数の還元公式一覧およびその覚え方(導出方法)を解説します。

目次
  • 三角関数の還元公式

  • 導出方法1

  • 導出方法2

三角関数の還元公式

90θ90^{\circ}-\theta(余角)の公式〜

sin(90θ)=cosθ\sin(90^{\circ}-\theta)=\cos\theta

cos(90θ)=sinθ\cos(90^{\circ}-\theta)=\sin\theta

tan(90θ)=1tanθ\tan(90^{\circ}-\theta)=\dfrac{1}{\tan\theta}

90+θ90^{\circ}+\theta の公式〜

sin(90+θ)=cosθ\sin(90^{\circ}+\theta)=\cos\theta

cos(90+θ)=sinθ\cos(90^{\circ}+\theta)=-\sin\theta

tan(90+θ)=1tanθ\tan(90^{\circ}+\theta)=-\dfrac{1}{\tan\theta}

180θ180^{\circ}-\theta(補角)の公式〜

sin(180θ)=sinθ\sin(180^{\circ}-\theta)=\sin\theta

cos(180θ)=cosθ\cos(180^{\circ}-\theta)=-\cos\theta

tan(180θ)=tanθ\tan(180^{\circ}-\theta)=-\tan\theta

180+θ180^{\circ}+\theta の公式〜

sin(180+θ)=sinθ\sin(180^{\circ}+\theta)=-\sin\theta

cos(180+θ)=cosθ\cos(180^{\circ}+\theta)=-\cos\theta

tan(180+θ)=tanθ\tan(180^{\circ}+\theta)=\tan\theta

360+θ360^{\circ}+\theta の公式〜

sin(360+θ)=sinθ\sin(360^{\circ}+\theta)=\sin\theta

cos(360+θ)=cosθ\cos(360^{\circ}+\theta)=\cos\theta

tan(360+θ)=tanθ\tan(360^{\circ}+\theta)=\tan\theta

θ-\theta(負角)の公式〜

sin(θ)=sinθ\sin(-\theta)=-\sin\theta

cos(θ)=cosθ\cos(-\theta)=\cos\theta

tan(θ)=tanθ\tan(-\theta)=-\tan\theta

導出方法1

(負角の公式以外については) 加法定理を使えば全て導けます。

追記:負角も θ=0θ-\theta=0-\theta とみなせば加法定理で導けます。

例として 90+θ90^{\circ}+\theta の公式を導出します。

証明

sin(90+θ)=sin90cosθ+cos90sinθ=cosθ\sin(90^{\circ}+\theta)=\sin 90^{\circ}\cos\theta+\cos 90^{\circ}\sin\theta\\ =\cos\theta cos(90+θ)=cos90cosθsin90sinθ=sinθ\cos(90^{\circ}+\theta)=\cos 90^{\circ}\cos\theta-\sin 90^{\circ}\sin\theta\\ =-\sin\theta tan(90+θ)=sin(90+θ)cos(90+θ)=cosθsinθ=1tanθ\tan(90^{\circ}+\theta)=\dfrac{\sin(90^{\circ}+\theta)}{\cos(90^{\circ}+\theta)}\\ =\dfrac{\cos\theta}{-\sin\theta}\\ =-\dfrac{1}{\tan\theta}

導出方法2

これは証明というより覚え方です。慣れたらかなり早く導出できます。

1.関数の形

180180^{\circ} の整数倍が絡むものは関数の形が変化しない

9090^{\circ} の奇数倍が絡むものは sin    cos\sin\iff \costan    1tan\tan\iff\dfrac{1}{\tan} と変化する

2.符号

θ\theta に鋭角を代入して符号を確認します。

sin(180+θ)\sin (180^{\circ}+\theta)

1.関数形は変化しない(sin\sin のまま)

2. θ\theta に鋭角を入れると sin(180+θ)\sin(180^{\circ}+\theta) は負なので符号はマイナス

つまり,sin(180+θ)=sinθ\sin(180^{\circ}+\theta)=-\sin\theta

tan(90θ)\tan(90^{\circ}-\theta)

1.関数形が 1tanθ\dfrac{1}{\tan\theta} に変化する

2. θ\theta に鋭角を入れると tan(90θ)\tan(90^{\circ}-\theta) は正なので符号はプラス

つまり,tan(90θ)=1tanθ\tan(90^{\circ}-\theta)=\dfrac{1}{\tan\theta}

導出方法2は私が高校生のとき先生に教えてもらった方法です。

Tag:数学2の教科書に載っている公式の解説一覧

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