私は関数の増加・減少の定義を

$\exists x_1\in I,\exists x_2\in I; x_1<x_2 \iff f(x_1)<f(x_2)$

が成り立つとき区間Iで増加.

$\exists x_1\in I,\exists x_2\in I; x_1<x_2 \iff f(x_1)>f(x_2)$

が成り立つとき区間Iで減少.

と認識していました。

しかし、いくつかのサイトなどを参考にすると、例えば高校数学の美しい物語では”ならば”でつなげており、本当に同値かわからなくなったので質問させていただきます。

質問：”⇔”でしょうか”⇒”でしょうか?

補足：

私は同値であると考えてます。

根拠はもし”⇒”であるなら前件が偽であるとき（例えば $x_1>x_2$ であるとき）後件に関係なく真になるから、その区間Iにおいて増加か減少かわからなくなると思うからです。

$\exists x_1\in I,\exists x_2\in I; x_1<x_2 \Longrightarrow f(x_1)>f(x_2)$

が成り立つとき区間Iで...

もし間違っているならどこが間違っているか指摘していただきたいです。

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ベストアンサー

yokimarosuisann 2021/9/8

”⇔”と”⇒”で主張したい内容が違うんじゃないですかね。

例えば $x_1$ と $x_2$ の大小関係を $f(x)$ が増加関数であることを根拠に述べたい場合は、わざわざ”⇔”を使わず”⇒”を使うと思います。

icedaisuki 2021/9/12

まず区間 $I$ 上の関数 $f$ の（狭義）増加の定義は

$\forall x_1 \in I, \forall x_2 \in I; x_1<x_2 \Rightarrow f(x_1)<f(x_2)$

です．そして $\Leftrightarrow$ と $\Rightarrow$ の違いですが，どちらで定義しても同じです．

（ $\because$ 「 $\forall x_1 \in I, \forall x_2 \in I; x_1<x_2 \Rightarrow f(x_1)<f(x_2)$ 」のときに「 $f(x_1)<f(x_2) \Rightarrow x_1<x_2$ 」が自動的に成り立つことを示す． $x_1,x_2 \in I$ で $f(x_1)<f(x_2)$ だとする．まず $f(x_1)<f(x_2)$ だから $x_1 \neq x_2$ である．もし $x_1>x_2$ だとすると単調増加の仮定により $f(x_1) > f(x_2)$ となるから矛盾する．よって $x_1<x_2$ である．）

なのでどちらで考えても大丈夫です．

また補足で書かれている議論については意味がよくわからなかったのでコメントできないです，すみません．

私は関数の増加・減少の定義を

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