$$\sum_{k=1}^{n} k(k+1)(k+2)$$

面白い質問ですね．質問をもっときちんと書いて，次の命題を示そうと思います：

ある自然数 $L, n$ に対して，

$$\sum_{k=1}^nk(k+1)\cdots(k+L-1) =\frac{1}{L+1}n(n+1)\cdots(n+L).$$

$L=3$ の場合は知っているようなので，一般の場合を実際に計算して済ませてしまおうと思います．

$k(k+1)\cdots(k+L-1)$ に $(k+L)$ をかけたものから $k-1$ をかけたものを差し引くと，

$$\begin{align*} &\quad k(k+1)\cdots(k+L-1)(k+L)-(k-1)k(k+1)\cdots(k+L-1)\\ &=k(k+1)\cdots(k+L-1)\{(k+L)-(k-1)\}\\ &=(L+1)k(k+1)\cdots(k+L-1). \end{align*}$$

したがって，

$$\begin{align*} &\quad k(k+1)\cdots(k+L-1)\\ &=\frac{1}{L+1}\left\{k(k+1)\cdots(k+L-1)(k+L)-(k-1)k(k+1)\cdots(k+L-1)\right\}. \end{align*}$$

これを $k=1,\ldots, n$ まで足し上げると，

$$\begin{align*} &\quad\sum_{k=1}^nk(k+1)\cdots(k+L-1)\\ &=\sum_{k=1}^n\frac{1}{L+1}\left\{k(k+1)\cdots(k+L-1)(k+L)-(k-1)k(k+1)\cdots(k+L-1)\right\}\\ &=\frac{1}{L+1}\sum_{k=1}^nk(k+1)\cdots(k+L)-\frac{1}{L+1}\sum_{k=1}^n(k-1)k(k+1)\cdots(k+L-1)\\ &=\frac{1}{L+1}n(n+1)\cdots(n+L) +\frac{1}{L+1}\sum_{k=1}^{n-1}k(k+1)\cdots(k+L)\\ &\qquad -\frac{1}{L+1}\sum_{k=2}^n(k-1)k(k+1)\cdots(k+L-1) -\frac{1}{L+1}0\cdot1\cdot2\cdots L\\ &=\frac{1}{L+1}n(n+1)\cdots(n+L). \end{align*}$$

題を得る．$\blacksquare$