1. アンサーズ
  2. $$ \sum_{k=1}^{n} k(k+1)(k+2) $$ の解法で連続し
解決済み

k=1nk(k+1)(k+2)\sum_{k=1}^{n} k(k+1)(k+2)

の解法で連続した3個の積の和は4個の積の差を利用することは展開でわかるのですが、一般にしたとき(L個の積の和はL+1個の積の差を利用する)の証明ができません。

展開の一般化で証明はできるのでしょうか。

回答例をよろしくお願いします。

ベストアンサー

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面白い質問ですね.質問をもっときちんと書いて,次の命題を示そうと思います:


ある自然数 L,nL, n に対して,

k=1nk(k+1)(k+L1)=1L+1n(n+1)(n+L). \sum_{k=1}^nk(k+1)\cdots(k+L-1) =\frac{1}{L+1}n(n+1)\cdots(n+L).


L=3L=3 の場合は知っているようなので,一般の場合を実際に計算して済ませてしまおうと思います.

k(k+1)(k+L1)k(k+1)\cdots(k+L-1)(k+L)(k+L) をかけたものから k1k-1 をかけたものを差し引くと,

k(k+1)(k+L1)(k+L)(k1)k(k+1)(k+L1)=k(k+1)(k+L1){(k+L)(k1)}=(L+1)k(k+1)(k+L1).\begin{align*} &\quad k(k+1)\cdots(k+L-1)(k+L)-(k-1)k(k+1)\cdots(k+L-1)\\ &=k(k+1)\cdots(k+L-1)\{(k+L)-(k-1)\}\\ &=(L+1)k(k+1)\cdots(k+L-1). \end{align*}

したがって,

k(k+1)(k+L1)=1L+1{k(k+1)(k+L1)(k+L)(k1)k(k+1)(k+L1)}.\begin{align*} &\quad k(k+1)\cdots(k+L-1)\\ &=\frac{1}{L+1}\left\{k(k+1)\cdots(k+L-1)(k+L)-(k-1)k(k+1)\cdots(k+L-1)\right\}. \end{align*}

これを k=1,,nk=1,\ldots, n まで足し上げると,

k=1nk(k+1)(k+L1)=k=1n1L+1{k(k+1)(k+L1)(k+L)(k1)k(k+1)(k+L1)}=1L+1k=1nk(k+1)(k+L)1L+1k=1n(k1)k(k+1)(k+L1)=1L+1n(n+1)(n+L)+1L+1k=1n1k(k+1)(k+L)1L+1k=2n(k1)k(k+1)(k+L1)1L+1012L=1L+1n(n+1)(n+L).\begin{align*} &\quad\sum_{k=1}^nk(k+1)\cdots(k+L-1)\\ &=\sum_{k=1}^n\frac{1}{L+1}\left\{k(k+1)\cdots(k+L-1)(k+L)-(k-1)k(k+1)\cdots(k+L-1)\right\}\\ &=\frac{1}{L+1}\sum_{k=1}^nk(k+1)\cdots(k+L)-\frac{1}{L+1}\sum_{k=1}^n(k-1)k(k+1)\cdots(k+L-1)\\ &=\frac{1}{L+1}n(n+1)\cdots(n+L) +\frac{1}{L+1}\sum_{k=1}^{n-1}k(k+1)\cdots(k+L)\\ &\qquad -\frac{1}{L+1}\sum_{k=2}^n(k-1)k(k+1)\cdots(k+L-1) -\frac{1}{L+1}0\cdot1\cdot2\cdots L\\ &=\frac{1}{L+1}n(n+1)\cdots(n+L). \end{align*}

題を得る.\blacksquare

質問者からのお礼コメント

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よく理解できました。

素晴らしい回答ありがとうございます!

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