基本的なテイラー展開・マクローリン展開公式一覧

更新 2024/07/13

この記事では覚えておくべきマクローリン展開をまとめます。
テイラー展開・マクローリン展開については
テイラーの定理とテイラー展開～例と証明
マクローリン展開
をご覧ください。

初等的な関数

簡単な関数11−x=1+x+x2+⋯=∑n=0∞xn(∣x∣<1)(1+x)α=1+αx+α(α−1)2x2+α(α−1)(α−2)3!x3+⋯=∑n=0∞(αn)xn(∣x∣<1)\begin{aligned}
\dfrac{1}{1-x} &= 1+x+x^2+\cdots\\
& = \sum_{n=0}^{\infty} x^n & (|x| < 1)\\
(1+x)^{\alpha} &= 1 + \alpha x + \dfrac{\alpha (\alpha - 1)}{2} x^2\\
&\qquad + \dfrac{\alpha(\alpha - 1)(\alpha - 2)}{3!} x^3 + \cdots\\
&= \sum_{n=0}^{\infty} 
\begin{pmatrix}
\alpha\\ n 
\end{pmatrix} 
x^n & (|x| < 1)
\end{aligned}1−x1​(1+x)α​=1+x+x2+⋯=n=0∑∞​xn=1+αx+2α(α−1)​x2+3!α(α−1)(α−2)​x3+⋯=n=0∑∞​(αn​)xn​(∣x∣<1)(∣x∣<1)​
ただし
(αn)={α(α−1)⋯(α−n+1)n!(n≠0)1(n=0)
\begin{pmatrix}
\alpha\\ n 
\end{pmatrix} 
= \begin{cases}
\dfrac{\alpha (\alpha-1) \cdots (\alpha - n + 1)}{n!} &(n \neq 0)\\
1 &(n=0)
\end{cases}
(αn​)=⎩⎨⎧​n!α(α−1)⋯(α−n+1)​1​(n=0)(n=0)​
と定義しています。
→ 一般化二項定理とルートなどの近似
指数・対数ex=1+x+x22!+x33!+⋯=∑n=0∞xnn!(x∈R)log⁡(1+x)=x−x22+x33−x44+⋯=∑n=1∞(−1)n−1nxn(−1<x≤1)\begin{aligned}
e^x &= 1+x+\dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^3}{3!} + \cdots\\
&= \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{x^n}{n!} & (x \in \mathbb{R})\\
\log (1+x) &= x - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{3} - \dfrac{x^4}{4} + \cdots \\
&= \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{n-1}}{n} x^n &(-1 < x \le 1)\\
\end{aligned}exlog(1+x)​=1+x+2!x2​+3!x3​+⋯=n=0∑∞​n!xn​=x−2x2​+3x3​−4x4​+⋯=n=1∑∞​n(−1)n−1​xn​(x∈R)(−1<x≤1)​
→ e^xのマクローリン展開，三角関数との関係
→ log xのn階微分とテイラー展開
三角関数sin⁡x=x−13!x3+15!x5−17!x7+⋯=∑n=0∞(−1)n(2n+1)!x2n+1(∣x∣∈R)cos⁡x=1−12!x2+14!x4−16!x6+⋯=∑n=0∞(−1)n(2n)!x2n(∣x∣∈R)tan⁡x=x+13x3+215x5+17315x7+⋯=∑n=1∞22n(22n−1)(−1)n−1B2n(2n)!x2n−1(∣x∣<π2)arcsin⁡x=x+16x3+340x5+⋯=∑n=0∞(2n−1)!!(2n)!!(2n+1)x2n+1(∣x∣<1)arccos⁡x=π2−x−16x3−340x5−⋯=π2−∑n=0∞(2n−1)!!(2n)!!(2n+1)x2n+1(∣x∣<1)arctan⁡x=x−13x3+15x5−17x7+⋯=∑n=0∞(−1)n2n+1x2n+1(∣x∣≦1)\begin{aligned}
\sin x &= x - \dfrac{1}{3!}x^3 + \dfrac{1}{5!} x^5 - \dfrac{1}{7!} x^7 + \cdots \\
&=\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{(-1)^{n}}{(2n+1)!} x^{2n+1} &(|x| \in \mathbb{R})\\
\cos x &= 1 - \dfrac{1}{2!} x^2 + \dfrac{1}{4!} x^4 - \dfrac{1}{6!} x^6 + \cdots\\
&= \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n} &(|x| \in \mathbb{R})\\
\tan x &= x+\dfrac{1}{3}x^3+\dfrac{2}{15}x^5+\dfrac{17}{315}x^7+\cdots\\
&= \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{2^{2n}(2^{2n}-1)(-1)^{n-1}B_{2n}}{(2n)!}x^{2n-1} & \left( |x| < \dfrac{\pi}{2} \right)\\
\arcsin x &= x + \dfrac{1}{6} x^3 + \dfrac{3}{40} x^5 + \cdots\\
&= \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{(2n-1)!!}{(2n)!! (2n+1)} x^{2n+1} &(|x| < 1)\\
\arccos x &= \dfrac{\pi}{2} - x - \dfrac{1}{6} x^3 - \dfrac{3}{40} x^5 - \cdots\\
&= \dfrac{\pi}{2} - \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{(2n-1)!!}{(2n)!! (2n+1)} x^{2n+1} &(|x| < 1)\\
\arctan x &= x - \dfrac{1}{3} x^3 + \dfrac{1}{5} x^5 - \dfrac{1}{7} x^7 + \cdots\\
&= \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1} &( |x| \leqq 1)
\end{aligned}sinxcosxtanxarcsinxarccosxarctanx​=x−3!1​x3+5!1​x5−7!1​x7+⋯=n=0∑∞​(2n+1)!(−1)n​x2n+1=1−2!1​x2+4!1​x4−6!1​x6+⋯=n=0∑∞​(2n)!(−1)n​x2n=x+31​x3+152​x5+31517​x7+⋯=n=1∑∞​(2n)!22n(22n−1)(−1)n−1B2n​​x2n−1=x+61​x3+403​x5+⋯=n=0∑∞​(2n)!!(2n+1)(2n−1)!!​x2n+1=2π​−x−61​x3−403​x5−⋯=2π​−n=0∑∞​(2n)!!(2n+1)(2n−1)!!​x2n+1=x−31​x3+51​x5−71​x7+⋯=n=0∑∞​2n+1(−1)n​x2n+1​(∣x∣∈R)(∣x∣∈R)(∣x∣<2π​)(∣x∣<1)(∣x∣<1)(∣x∣≦1)​
なお，BnB_nBn​ はベルヌーイ数です。
→ sinとcosのn階微分とマクローリン展開
→ tanxの高階微分とマクローリン展開
→ Arctanのマクローリン展開の３通りの方法
→ arcsin・arccos のマクローリン展開
双曲線関数sinh⁡x=x+13!x3+15!x5+17!x7+⋯=∑n=0∞x2n+1(2n+1)!(∣x∣∈R)cosh⁡x=1+12!x2+14!x4+16!x6+⋯=∑n=0∞x2n(2n)!(∣x∣∈R)tanh⁡x=x−13x3+215x5−17315x7+⋯=∑n=1∞22n(22n−1)B2n(2n)!x2n−1(∣x∣<π2)\begin{aligned}
\sinh x &= x + \dfrac{1}{3!}x^3 + \dfrac{1}{5!} x^5 + \dfrac{1}{7!} x^7 + \cdots \\
&=\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} &(|x| \in \mathbb{R})\\
\cosh x &= 1 + \dfrac{1}{2!} x^2 + \dfrac{1}{4!} x^4 + \dfrac{1}{6!} x^6 + \cdots\\
&= \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{x^{2n}}{(2n)!}  &(|x| \in \mathbb{R})\\
\tanh x &= x-\dfrac{1}{3}x^3+\dfrac{2}{15}x^5-\dfrac{17}{315}x^7+\cdots\\
&= \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}}{(2n)!}x^{2n-1} & \left( |x| < \dfrac{\pi}{2} \right)
\end{aligned}sinhxcoshxtanhx​=x+3!1​x3+5!1​x5+7!1​x7+⋯=n=0∑∞​(2n+1)!x2n+1​=1+2!1​x2+4!1​x4+6!1​x6+⋯=n=0∑∞​(2n)!x2n​=x−31​x3+152​x5−31517​x7+⋯=n=1∑∞​(2n)!22n(22n−1)B2n​​x2n−1​(∣x∣∈R)(∣x∣∈R)(∣x∣<2π​)​
→ 双曲線関数(sinh,cosh,tanh)のマクローリン展開を3通りの方法で計算

発展：初等関数の組み合わせ

ここからは上で紹介したマクローリン展開を組み合わせることで計算できる級数展開を紹介します。
余力がある人は自分で証明してみましょう。
xex−1=1−12x+112x2−1720x4+⋯=∑n=0∞Bnn!xn(∣x∣<2π)\begin{aligned}
\dfrac{x}{e^x-1} &= 1 -\dfrac{1}{2} x + \dfrac{1}{12} x^2 - \dfrac{1}{720} x^4 + \cdots\\
&= \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{B_n}{n!} x^{n} &(|x| < 2\pi)
\end{aligned}ex−1x​​=1−21​x+121​x2−7201​x4+⋯=n=0∑∞​n!Bn​​xn​(∣x∣<2π)​
(arcsin⁡x)2=x2+13x4+845x6+⋯=∑n=0∞(2n−2)!!(2n−1)!!nx2n(∣x∣<1)(arctan⁡x)2=x2−23x4+2345x6+⋯=∑n=1∞(−1)n−1n(∑r=1n12r−1)x2n(∣x∣<1)1−x2arcsin⁡x=x−∑n=1∞(2n−2)!!(2n+1)!!nx2n+1(∣x∣<1)arcsin⁡x1−x2=∑n=0∞(2n)!!(2n+1)!!x2n+1(∣x∣<1)\begin{aligned}
(\arcsin x)^2 &= x^2 + \dfrac{1}{3} x^4 + \dfrac{8}{45} x^6 + \cdots\\
&= \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{(2n-2)!!}{(2n-1)!! n} x^{2n} &(|x| < 1)\\
(\arctan x)^2 &= x^2 - \dfrac{2}{3} x^4 + \dfrac{23}{45} x^6 + \cdots\\
&= \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{n-1}}{n} \left( \sum_{r=1}^n  \dfrac{1}{2r-1} \right) x^{2n}&(|x| < 1)\\
\sqrt{1-x^2} \arcsin x &=x - \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{(2n-2)!!}{(2n+1)!!n}x^{2n+1}&(|x| < 1)\\
\dfrac{\arcsin x}{\sqrt{1-x^2}} &= \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{(2n)!!}{(2n+1)!!} x^{2n+1} &(|x| < 1)\\
\end{aligned}(arcsinx)2(arctanx)21−x2​arcsinx1−x2​arcsinx​​=x2+31​x4+458​x6+⋯=n=0∑∞​(2n−1)!!n(2n−2)!!​x2n=x2−32​x4+4523​x6+⋯=n=1∑∞​n(−1)n−1​(r=1∑n​2r−11​)x2n=x−n=1∑∞​(2n+1)!!n(2n−2)!!​x2n+1=n=0∑∞​(2n+1)!!(2n)!!​x2n+1​(∣x∣<1)(∣x∣<1)(∣x∣<1)(∣x∣<1)​

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基礎的なことはこちらはどうぞ。
テイラーの定理とテイラー展開～例と証明
マクローリン展開
項別微分・項別積分
マクローリン展開を応用した不等式が多くあります。それについてはこちらをどうぞ。
マクローリン展開の応用例まとめ