arcsin・arccos のマクローリン展開

更新 2024/07/11

$|x| < 1$ なる実数 $x$ について，

$\begin{aligned} \arcsin x &= x + \dfrac{1}{6} x^3 + \dfrac{3}{40} x^5 + \cdots\\ \arccos x &= \dfrac{\pi}{2} - x - \dfrac{1}{6} x^3 - \dfrac{3}{40} x^5 - \cdots \end{aligned}$

となる。

この記事では逆三角関数のうち逆正弦関数（ $\arcsin$ ）と逆余弦関数（ $\arccos$ ）のマクローリン展開を計算します。

逆正接関数（ $\arctan$ ）については Arctanのマクローリン展開の３通りの方法をどうぞ。

シグマを使った表示

$\Sigma$ を用いると $\arcsin x = \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{(2n-1)!!}{(2n)!! (2n+1)} x^{2n+1}$ と表されます。（ $(-1)!! = 0!! = 1$ としています）

また， $\arccos x + \arcsin x = \dfrac{\pi}{2}$ なので， $\arcsin$ の表示から $\arccos$ の表示が得られます。

証明

一般化二項定理を使って証明します。

ポイントは $(\arcsin x)' = \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ であることです。

証明

$(1+x)^{\alpha} = \sum_{n=0}^{\infty} \begin{pmatrix} \alpha\\ n \end{pmatrix} x^n$

ただし $\begin{pmatrix} \alpha\\ n \end{pmatrix} = \begin{cases} \dfrac{\alpha (\alpha-1) \cdots (\alpha - n + 1)}{n!} &(n \neq 0)\\ 1 &(n=0) \end{cases}$ であった。

$\alpha = - \dfrac{1}{2}$ として計算する。 $\begin{aligned} &\dfrac{1}{n!} \left( -\dfrac{1}{2} \right) \cdots \left( -\dfrac{1}{2} - n + 1 \right)\\ &= \dfrac{(-1)^n}{n!} \dfrac{1}{2}\times \dfrac{3}{2} \times \cdots \times \dfrac{2n-1}{2}\\ &= (-1)^n \dfrac{(2n-1)!!}{(2n)!!} \end{aligned}$ より $\begin{aligned} &\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\ &= \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \dfrac{(2n-1)!!}{(2n)!!} (-x^{2})^n \\ &= \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{(2n-1)!!}{(2n)!!} x^{2n} \end{aligned}$ （ $n=0$ のとき $(2n-1)!! = (2n)!! = 1$ としている）