Arctanのマクローリン展開の３通りの方法

無限等比級数の公式より，$|x| < 1$ の範囲では

$$\dfrac{1}{1+x^2}=1-x^2+x^4-x^6+\cdots$$

である。この両辺を $0$ から $x$ まで積分（注）すると，

$$\mathrm{Arctan}\:x =x-\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^5}{5}-\dfrac{x^7}{7}+\cdots$$

となり目標の公式を得る。

$f'(x)=\dfrac{1}{1+x^2}$ なので $f'(x)(1+x^2)=1$ である。

この両辺を $n(\:\geq 2)$ 回微分する。右辺は $0$ になり，左辺はライプニッツの公式より，

$$(1+x^2)f^{(n+1)}(x)+{}_n\mathrm{C}_12xf^{(n)}(x)+{}_{n}\mathrm{C}_22f^{(n-1)}(x)$$

よって，

$$(1+x^2)f^{(n+1)}(x)+2nxf^{(n)}(x)+n(n-1)f^{(n-1)}(x)=0$$

（ここで，$1+x^2$ を三回以上微分すると $0$ になるので先頭の3つの項しか残らないことに注意。）

両辺に $x=0$ を代入すると，$f^{(n+1)}(0)+n(n-1)f^{(n-1)}(0)=0$

この漸化式と初期条件 $f'(0)=1,\:f''(0)=0$ （注）を使うことで $f^{(n)}(0)$ が以下のように求まる！

$$\begin{aligned} f^{(2n)} (0) &= 0\\ f^{(2n-1)} (0) &=-(2n-2)(2n-3)f^{(2n-3)}(0)\\ &= \cdots \\ & =(-1)^{n-1}(2n-2)!f^{(1)}(0)\\ & =(-1)^{n-1}(2n-2)! \end{aligned}$$

よって，マクローリン展開の式に $f^{(n)}(0)$ の値を代入することにより，

$$\begin{aligned} f(x) &= {\sum_{k=0}^{\infty}}f^{(k)}(0)\dfrac{x^k}{k!}\\ & = \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} (2n-2)! \dfrac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}\\ &= \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{(-1)^{n-1}}{2n-1}x^{2n-1} \end{aligned}$$

となり目標の式を得る。

$$f'(x)=\dfrac{1}{1+x^2}=\dfrac{1}{2i}\left(\dfrac{1}{x-i}-\dfrac{1}{x+i}\right)$$

ここで，分数関数 $\dfrac{1}{x}$ の $n-1$ 次導関数は $(-1)^{n-1}(n-1)!x^{-n}$ であることが帰納法で簡単に証明できるので，

$$f^{(n)}(x)=\dfrac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{2i}\{(x-i)^{-n}-(x+i)^{-n}\}$$

$n$ 次導関数が求まったのであとは $x=0$ を代入して計算していけば $f^{(n)}(0)$ が求まり $\mathrm{Arctan}\:x$ の級数展開を得る（詳細は省略）。