双曲線関数(sinh,cosh,tanh)のマクローリン展開を3通りの方法で計算

更新日時 2022/08/03
双曲線関数のマクローリン展開

sinhx=x+x33!+x55!+\sinh x=x+\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}+\cdots

coshx=1+x22!+x44!+\cosh x=1+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}+\cdots

tanhx=x13x3+215x5\tanh x=x-\dfrac{1}{3}x^3+\dfrac{2}{15}x^5-\cdots

双曲線関数 sinh,cosh,tanh\sinh,\cosh,\tanh のマクローリン展開(x=0x=0 でのテイラー展開)をそれぞれ3通りの方法で導出します。なお,双曲線関数の定義は以下です:

  • sinhx=exex2\sinh x=\dfrac{e^x-e^{-x}}{2}
  • coshx=ex+ex2\cosh x=\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}
  • tanhx=exexex+ex\tanh x=\dfrac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}
目次
  • sinhとcoshのマクローリン展開

  • tanhのマクローリン展開

sinhとcoshのマクローリン展開

3通りの方法で導出します。

指数関数のマクローリン展開を使う方法

sinhx=exex2,coshx=ex+ex2\sinh x=\dfrac{e^x-e^{-x}}{2},\cosh x=\dfrac{e^x+e^{-x}}{2} なので,指数関数 exe^x のマクローリン展開から計算できます。

導出1

ex=1+x+x22!+x33!+x44!+e^x=1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^4}{4!}+\cdots

および

ex=1x+x22!x33!+x44!e^{-x}=1-x+\dfrac{x^2}{2!}-\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^4}{4!}-\cdots

という2つの式について,

  • 引き算して 22 で割ると,
    sinhx=x+x33!+x55!+\sinh x=x+\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}+\cdots

  • 足し算して 22 で割ると,
    coshx=1+x22!+x54!+\cosh x=1+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^5}{4!}+\cdots

高階微分を計算する方法

導出2

(sinhx)=coshx(\sinh x)'=\cosh x

(coshx)=sinhx(\cosh x)'=\sinh x

より,nn 階微分は coshx\cosh xsinhx\sinh x を交互に繰り返す。そして x=0x=0 での値は 1100 を繰り返す。

  • f(x)=sinhxf(x)=\sinh x に対して,f(0),f(0),f(0),f(0),f'(0),f''(0),\dots0,1,0,1,0,...0,1,0,1,0,... となるので
    sinhx=x+x33!+x55!+\sinh x=x+\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}+\cdots

  • f(x)=coshxf(x)=\cosh x に対して,f(0),f(0),f(0),f(0),f'(0),f''(0),\dots1,0,1,0,1,...1,0,1,0,1,... となるので
    coshx=1+x22!+x44!+\cosh x=1+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}+\cdots

三角関数の場合は (cosx)=sinx(\cos x)'=-\sin x となりマイナスがつきますが,双曲線関数の場合は符号の変化が無いのでシンプルです。

sin と sinh の関係を使う方法

補題1
  • sinix=isinhx\sin ix=i\sinh x
  • cosix=coshx\cos ix=\cosh x

これは定理というよりも「複素三角関数の定義」ですが,オイラーの公式に基づいた導出を紹介しておきます。

補題1の導出

eix=cosx+isinxe^{ix}=\cos x+i\sin x

x=ixx=ixx=ixx=-ix を代入して

  • ex=cos(ix)+isin(ix)e^{-x}=\cos(ix)+i\sin(ix)
  • ex=cos(ix)+isin(ix)=cos(ix)isin(ix)e^x=\cos(-ix)+i\sin(-ix)\\ =\cos(ix)-i\sin(ix)

この2式を引き算して 2i2i で割ると sinix=isinhx\sin ix=i\sinh x

この2式を足し算して 22 で割ると cosix=coshx\cos ix=\cosh x

補題1を使って sinh\sinhcosh\cosh のマクローリン展開を導出します。

導出3

sinhx=1isinix=1i{(ix)(ix)33!+(ix)55!}=x+x33!+x55!+\sinh x=\dfrac{1}{i}\sin ix\\ =\dfrac{1}{i}\left\{(ix)-\dfrac{(ix)^3}{3!}+\dfrac{(ix)^5}{5!}-\cdots\right\}\\ =x+\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}+\cdots

coshx=cosix=1(ix)22!+(ix)44!=1+x22!+x44!+\cosh x=\cos ix\\ =1-\dfrac{(ix)^2}{2!}+\dfrac{(ix)^4}{4!}-\cdots\\ =1+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}+\cdots

tanhのマクローリン展開

こちらも3通りの計算方法を紹介します。sinh,cosh\sinh,\cosh の場合と違って一般項を簡単な式で明示することは難しいため,5次の項までの展開方法を紹介します。

tan と tanh の関係を使う方法

補題1から補題2がすぐにわかります。

補題2
  • tanix=itanhx\tan ix=i\tanh x

これと,tanxのマクローリン展開を使えば簡単です。

導出1

tanhx=1itanix=1i{(ix)+(ix)33+215(ix)5+}=xx33+215x5\tanh x=\dfrac{1}{i}\tan ix\\ =\dfrac{1}{i}\left\{(ix)+\dfrac{(ix)^3}{3}+\dfrac{2}{15}(ix)^5+\cdots\right\}\\ =x-\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{2}{15}x^5-\cdots

無限等比級数の公式を使う方法

導出2

B<1|B|<1 のもとで

A1B=A(1+B+B2+)\dfrac{A}{1-B}=A(1+B+B^2+\cdots)

が成立する。

  • A=sinhx=x+x33!+x55!+A=\sinh x = x+\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}+\cdots
  • B=(1coshx)=x22!x44!B=(1-\cosh x)=-\dfrac{x^2}{2!}-\dfrac{x^4}{4!}-\cdots

として6次以上の項を無視すると,

tanhx(x+x33!+x55!){1x22!x44!+(x22!x44!)2+}x+(1612)x3+(1120112124+14)x5=x13x3+215x5\tanh x\\ \fallingdotseq\left(x+\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}\right)\left\{1-\dfrac{x^2}{2!}-\dfrac{x^4}{4!}+\left(-\dfrac{x^2}{2!}-\dfrac{x^4}{4!}\right)^2+\cdots\right\}\\ \fallingdotseq x+\left(\dfrac{1}{6}-\dfrac{1}{2}\right)x^3+\left(\dfrac{1}{120}-\dfrac{1}{12}-\dfrac{1}{24}+\dfrac{1}{4}\right) x^5\\ =x-\dfrac{1}{3}x^3+\dfrac{2}{15}x^5

高階微分を計算する方法

頑張って5階微分まで計算することもできますがかなり大変です。tanxの高階微分と同じように計算できます(同じくらい大変です)。

大変なので省略します。

sinh,cosh\sinh,\cosh の展開は sin,cos\sin,\cos よりも「符号の部分が統一されていて嬉しい」です。tanh\tanh の展開は tan\tan よりも「符号の部分が交互で悲しい」です。