双曲線関数(sinh,cosh,tanh)のマクローリン展開を3通りの方法で計算

$$e^x=1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^4}{4!}+\cdots$$ および $$e^{-x}=1-x+\dfrac{x^2}{2!}-\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^4}{4!}-\cdots$$ という2つの式について，

• 引き算して $2$ で割ると，
  $$\sinh x=x+\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}+\cdots$$

• 足し算して $2$ で割ると，
  $$\cosh x=1+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}+\cdots$$

$$(\sinh x)'=\cosh x\\ (\cosh x)'=\sinh x$$

より，$n$ 階微分は $\cosh x$ と $\sinh x$ を交互に繰り返す。そして $x=0$ での値は $1$ と $0$ を繰り返す。

• $f(x)=\sinh x$ に対して，$f(0),f'(0),f''(0),\dots$ は $0,1,0,1,0,...$ となるので $$\sinh x=x+\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}+\cdots$$

• $f(x)=\cosh x$ に対して，$f(0),f'(0),f''(0),\dots$ は $1,0,1,0,1,...$ となるので $$\cosh x=1+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}+\cdots$$

$e^{ix}=\cos x+i\sin x$

の $x$ に $ix$ と $-ix$ を代入して

• $e^{-x}=\cos(ix)+i\sin(ix)$
• $e^x=\cos(-ix)+i\sin(-ix)\\ =\cos(ix)-i\sin(ix)$

この2式を引き算して $2i$ で割ると $\sin ix=i\sinh x$

この2式を足し算して $2$ で割ると $\cos ix=\cosh x$

$$\begin{aligned} \sinh x &= \dfrac{1}{i}\sin ix\\ &=\dfrac{1}{i}\left\{(ix)-\dfrac{(ix)^3}{3!}+\dfrac{(ix)^5}{5!}-\cdots\right\}\\ &=x+\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}+\cdots\\ \cosh x &=\cos ix\\ &=1-\dfrac{(ix)^2}{2!}+\dfrac{(ix)^4}{4!}-\cdots\\ &=1+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}+\cdots \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} \tanh x &= \dfrac{1}{i}\tan ix\\ &=\dfrac{1}{i} \left\{(ix)+\dfrac{(ix)^3}{3}+\dfrac{2}{15} (ix)^5+\cdots\right\}\\ &=x-\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{2}{15}x^5-\cdots \end{aligned}$$

$|B| < 1$ のもとで

$$\dfrac{A}{1-B}=A(1+B+B^2+\cdots)$$

が成立する。

• $A=\sinh x = x+\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}+\cdots$
• $B=(1-\cosh x)=-\dfrac{x^2}{2!}-\dfrac{x^4}{4!}-\cdots$

として6次以上の項を無視すると，

$$\begin{aligned} &\tanh x\\ &\fallingdotseq\left(x+\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}\right) \\ &\qquad \left\{1-\dfrac{x^2}{2!}-\dfrac{x^4}{4!}+\left(-\dfrac{x^2}{2!}-\dfrac{x^4}{4!}\right)^2\right\}\\ &\fallingdotseq x+\left(\dfrac{1}{6}-\dfrac{1}{2}\right)x^3+\left(\dfrac{1}{120}-\dfrac{1}{12}-\dfrac{1}{24}+\dfrac{1}{4}\right) x^5\\ &=x-\dfrac{1}{3}x^3+\dfrac{2}{15}x^5 \end{aligned}$$