tanxの高階微分とマクローリン展開

微分

$(\tan x)'=\dfrac{1}{\cos^2x}\\ =1+\tan^2x$ →tanxと1/tanxの微分公式のいろいろな証明

$x=0$ における微分係数は $1$

二階微分

合成関数の微分公式を使うと，

$$\begin{aligned} &2\tan x(\tan x)'\\ &=2\tan x\cdot \dfrac{1}{\cos^2x}\\ &=2\tan x(1+\tan^2x)\\ &=2\tan x+2\tan^3x \end{aligned}$$

$x=0$ における二階微分の値は $0$

このように， $\dfrac{1}{\cos^2x}=1+\tan^2x$ を用いて分数を除去すると計算が楽です。

三階微分

$$\begin{aligned} &2\dfrac{1}{\cos^2x}+2\cdot 3\tan^2x\dfrac{1}{\cos^2x}\\ &=2(1+\tan^2x)+6\tan^2x(1+\tan^2x)\\ &=2+8\tan^2x+6\tan^4x \end{aligned}$$

$x=0$ における三階微分の値は $2$

このように， $\tan x$ の奇数階導関数は $\tan x$ の偶数次の項のみからなる式で表せます。

四階微分

$$\begin{aligned} &16\tan x(1+\tan^2x)+24\tan^3x(1+\tan^2x)\\ &=16\tan x+40\tan^3x+24\tan^5x \end{aligned}$$

$x=0$ における四階微分の値は $0$

このように， $\tan x$ の偶数階導関数は $\tan x$ の奇数次の項のみからなる式で表せます。

五階微分

$$\begin{aligned} &16(1+\tan^2x)+120\tan^2x(1+\tan^2x)\\ &+120\tan^4x(1+\tan^2x)\\ &=16+136\tan^2x+240\tan^4x+120\tan^6x \end{aligned}$$

$x=0$ における五階微分の値は $16$

以上の結果から，$\tan x$ を $x=0$ で五次まで展開すると

$$\begin{aligned} &\dfrac{1}{1}x+\dfrac{2}{3!}x^3+\dfrac{16}{5!}x^5\\ &=x+\dfrac{1}{3}x^3+\dfrac{2}{15}x^5 \end{aligned}$$

となることが分かります。

実は，各導関数について 隣り合う係数を交互に足し引きしていくと $0$ になることが分かります。五階微分の場合だと $16-136+240-120=0$ という感じです。

$\tan x$ のマクローリン展開は，$\sin x$ や $\cos x$ ほどきれいに書くことはできません。

しかしベルヌーイ数 $B_{n}$ を用いると， $$\tan x= \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{2^{2n}(2^{2n}-1)(-1)^{n-1}B_{2n}}{(2n)!}x^{2n-1}$$ とシンプルに書かれることが知られています。

ベルヌーイ数については ベルヌーイ数とゼータ関数 を参照してください。