シュタイナーレームスの定理

角の二等分線の公式3より，$BD^2=ac-AD\cdot CD$

$CE^2=ab-AE\cdot BE$

また，角の二等分線の公式1より，$AD=\dfrac{bc}{a+c},DC=\dfrac{ab}{a+c},$

$AE=\dfrac{bc}{a+b},EB=\dfrac{ac}{a+b}$

以上から，$BD=CE$ のとき

$ac-\dfrac{ab^2c}{(a+c)^2}=ab-\dfrac{abc^2}{(a+b)^2}$

両辺を $a$ で割って通分する：

$c\dfrac{(a+c)^2-b^2}{(a+c)^2}=b\dfrac{(a+b)^2-c^2}{(a+b)^2}$

両辺の分子を因数分解して $(a+b+c)$ で割る：

$c\dfrac{a-b+c}{(a+c)^2}=b\dfrac{a+b-c}{(a+b)^2}$

このまま展開して気合いで因数分解してもよいが，ここでは $a+b+c=1$ と規格化して式を簡単にする：

$c(1-2b)(1-c)^2=b(1-2c)(1-b)^2$

$(b-c)$ を因数にもつことに注意して上式を展開，因数分解する：

$b(1-b)^2-c(1-c)^2-2bc(1-b)^2+2bc(1-c)^2=0$

$(b-c)(b^2+bc+c^2-2b-2c+1+2bc(1+a))=0$

よって，この左辺の二つ目のカッコの中身が正であることを示せば $b=c$ が分かる：

$0 <(b+c-1)^2=b^2+c^2+1-2b-2c+2bc <$ （左辺の二つ目のカッコの中身）