交代順列の数とタンジェント数，セカント数

$1,2,\cdots, n$ の並び替えで，増減増減 $\cdots$ となるものを，要素数 $n$ の交代順列と言います。ジグザグな順列です。

要素数 $n$ の交代順列の数を $a_n$ と書きます。$a_4=5$ です。

$\tan x$ の $n$ 次導関数の $x=0$ での値をタンジェント数（以下 $t_n$ で表す）と言います。

マクローリン展開の形で書くと，

$\tan x=t_1x+\dfrac{t_3}{3!}x^3+\dfrac{t_5}{5!}x^5+\cdots$

となります。$\tan x$ は奇関数であり，マクローリン展開をしたときに偶数次の項は登場しません。つまり，$n$ が偶数のとき，$t_n=0$ です。実際に計算すると $t_1=1$，$t_3=2$，$t_5=16$ です。

また，$\sec x=\dfrac{1}{\cos x}$ の $n$ 次導関数の $x=0$ での値をセカント数（以下 $s_n$ で表す）と言います。

マクローリン展開の形で書くと，

$\dfrac{1}{\cos x}=s_0+\dfrac{s_2}{2!}x^2+\dfrac{s_4}{4!}x^4+\cdots$

となります。$\sec x$ は偶関数であり，マクローリン展開をしたときに奇数次の項は登場しません。つまり，$n$ が奇数のとき，$s_n=0$ です。実際に計算すると $s_0=1$，$s_2=1$，$s_4=5$ です。

感動的な定理ですね！　例えば，$\dfrac{1}{\cos x}$ を頑張って $10$ 回微分して $x=0$ を代入すると $50521$ になるので，要素数 $10$ の交代順列の数は $50521$ 通りだと分かります。

実際に計算する際は，何回も微分するのは大変なので，動的計画法（漸化式を立てて $n$ が小さいものから順に $a_n$，$b_n$ を求めていく方法）を使うとよいです。

定理の証明はかなり大変なので，大雑把な流れのみ紹介します。微分方程式も登場します（高校数学範囲外です）。

なお，証明の概略は英語版Wikipediaを参考にしました。→Alternating Permutation