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交代順列の数とタンジェント数,セカント数

更新日時 2021/03/07

交代順列の数とタンジェント数,セカント数が等しいという感動的な定理について紹介します。

目次
  • 交代順列の数

  • タンジェント数とセカント数

  • アンドレの定理

  • 定理の証明の概略

交代順列の数

1,2,,n1,2,\cdots, n の並び替えで,増減増減 \cdots となるものを,要素数 nn の交代順列と言います。ジグザグな順列です。

例題

要素数 44 の交代順列の数を求めよ。

解答

実際に列挙すると,13241 3 2 414231 4 2 323142 3 1 424132 4 1 334123 4 1 2 の5つです。

この記事では要素数 nn の交代順列の数 cnc_n について考えます。

タンジェント数とセカント数

tanx\tan xnn 次導関数の x=0x=0 での値をタンジェント数(以下 ana_n で表す)と言います。

マクローリン展開の形で書くと,

tanx=a1x+a33!x3+a55!x5+\tan x=a_1x+\dfrac{a_3}{3!}x^3+\dfrac{a_5}{5!}x^5+\cdots

となります。 tanx\tan x は奇関数であり,マクローリン展開をしたときに偶数次の項は登場しません。つまり,nn が偶数のとき,an=0a_n=0 です。実際に計算すると a1=1a_1=1a3=2a_3=2a5=16a_5=16 です。

secx=1cosx\sec x=\dfrac{1}{\cos x}nn 次導関数の x=0x=0 での値をセカント数(以下 bnb_n で表す)と言います。

マクローリン展開の形で書くと,

1cosx=b0+b22!x2+b44!x4+\dfrac{1}{\cos x}=b_0+\dfrac{b_2}{2!}x^2+\dfrac{b_4}{4!}x^4+\cdots

となります。 secx\sec x は偶関数であり,マクローリン展開をしたときに奇数次の項は登場しません。つまり,nn が奇数のとき,bn=0b_n=0 です。実際に計算すると b0=1b_0=1b2=1b_2=1b4=5b_4=5 です。

アンドレの定理

交代順列の数 cnc_n は,

nn が奇数のときタンジェント数 ana_n と等しい

nn が偶数のときセカント数 bnb_n と等しい

感動的な定理ですね!例えば,1cosx\dfrac{1}{\cos x} を頑張って 1010 回微分して x=0x=0 を代入すると 5052150521 になるので,要素数 1010 の交代順列の数は 5052150521 通りだと分かります。

実際に計算する際は何回も微分するのは大変なので,動的計画法(漸化式を立てて nn が小さいものから順に ana_nbnb_n を求めていく方法)を使います。

定理の証明の概略

定理の証明はかなり大変なので非常に大雑把な流れのみ紹介します。微分方程式も登場します(高校数学範囲外です)。

証明の概略

組み合わせ的な議論により,n1n\geq 1 のとき

2cn+1=k=0nnCkckcnk2c_{n+1}=\displaystyle\sum_{k=0}^n{}_n\mathrm{C}_kc_kc_{n-k}

という漸化式が成立することが分かる。

f(x)=n=0cnn!xnf(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{c_n}{n!}x^n

という関数を考える(ただし c0=0c_0=0 )。上記の漸化式を使うと 1+f(x)2=2f(x)1+f(x)^2=2f'(x) という微分方程式が成立することが分かる。

この微分方程式の一般解は f(x)=tan(x2+C)f(x)=\tan\left(\dfrac{x}{2}+C\right) となる(ただし CC は任意定数)。ここで,f(0)=1f(0)=1 に注意すると C=π4C=\dfrac{\pi}{4} となる。よって f(x)=tan(x2+π4)f(x)=\tan\left(\dfrac{x}{2}+\dfrac{\pi}{4}\right)

半角の公式などを用いると,tan(x2+π4)=tanx+1cosx\tan\left(\dfrac{x}{2}+\dfrac{\pi}{4}\right)=\tan x+\dfrac{1}{\cos x} という恒等式が成立することが分かる。以上より f(x)=tanx+1cosxf(x)=\tan x+\dfrac{1}{\cos x} が分かり,両辺の係数を比較すると定理を得る。

なお,証明の概略は英語版Wikipediaを参考にしました。→Alternating Permutation

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