全ての三角形が二等辺三角形であることの証明！？

更新 2021/03/07

有名な嘘の証明です。

全ての三角形が二等辺三角形であること，さらに正三角形であることの証明を解説します。もちろんそのような命題が成立するはずはないので，証明のどこかに嘘があります。探してみてください！

全ての三角形が二等辺三角形であることの証明

「全ての三角形が二等辺三角形である，さらに正三角形である」ことの巧妙な証明です。

嘘の証明

三角形 $ABC$ において，角 $A$ の二等分線と $BC$ の垂直二等分線の交点を $D$ とおく。 $D$ から $AB,AC$ に下ろした垂線の足を $E,F$ とおく。
このとき，直角三角形 $ADE$ と $ADF$ は合同（角度が全て等しく斜辺は共通）。よって $DE=DF$ ， $AE=AF$ 。
また， $BC$ の中点を $M$ とおくと三角形 $DBM$ と $DCM$ は合同（二辺とその間の角がそれぞれ等しい）。よって $DB=DC$
上の二つの結果より，三角形 $DEB$ と $DFC$ は合同（直角三角形において斜辺と他の一辺がそれぞれ等しい）。よって $EB=FC$
以上により $AB=AE+EB=AF+FC=AC$
よって，三角形 $ABC$ は二等辺三角形である。同じことが辺 $BC,BA$ に対しても言えるので，結局三角形 $ABC$ は正三角形である。

さあ，どこに嘘があるでしょうか？ここから下に答えがあります，答えを見る前に考えてみてください！

出題意図

（スクロールの勢い余って答えを見てしまうのを防ぐために，スペース稼ぎの意味も込めて）嘘の証明を学ぶ意味について考えてみます。

単純にクイズとしておもしろい，友達に出題したくなる。
それっぽい証明の穴をつくのは数学の研究でも重要。
嘘の証明から学ぶこともある。この場合は図形問題の練習になる。

答え

意外な所に落とし穴があります！
DDD が三角形 ABCABCABC の内部にはないので上の図が間違っている。よって，5において
AB=AE+EBAB=AE+EBAB=AE+EB
 成立しないので証明は間違い。
というのが答えです。例えば
AB<ACAB <ACAB<AC
 のとき，角
AAA
 の二等分線と
BCBCBC
 の交点を
XXX
 とおくと，角の二等分線定理より
BX<BMBX <BMBX<BM
 となり，
線分 AXAXAX は BCBCBC の垂直二等分線と交わりません。

正三角形であることの証明アゲイン

上の「答え」に対して，嘘の証明を修正してみました！

嘘の証明

全て正三角形

$D$ が三角形 $ABC$ の外部にあるときも，さきほどの証明において1〜4は成立する。

5は $AB=AE-EB=AF-FC=AC$ と修正することで結局 $AB=AC$ が証明できる。よって，三角形 $ABC$ は二等辺三角形であり，したがって（対称性より）正三角形である。

この証明の反論も考えてみてください！下に答えがあります。

アゲインの答え

やっぱり図が間違いです。正しい図を書いてみると，例えば
AB<ACAB <ACAB<AC
 のとき，
EEE は線分 ABABAB 上になく，一方 FFF は線分 ACACAC 上にあります。したがって，AB=AE−EB, AC=AF+FCAB=AE-EB,\:AC=AF+FCAB=AE−EB,AC=AF+FC
 になります。よって，やはり5の部分が間違い。
ちなみに，このような図になるのは以下のいずれかの方法で納得できます。
ABABAB が ACACAC よりも極端に短いような三角形を考えて丁寧に図を書いてみる。
シムソンの定理→シムソンの定理とその2通りの証明
最終的にシムソンの定理で説明できることに感動。
Tag:難しめの数学雑学・ネタまとめ

この記事の監修者

マスオ

高校数学の美しい物語の管理人。「わかりやすいこと」と「ごまかさないこと」の両立を意識している。著書に『高校数学の美しい物語』『超ディープな算数の教科書』。記事の誤植やわかりにくい等のご指摘はお気軽にメールください！