全ての三角形が二等辺三角形であることの証明!?

有名な嘘の証明です。

全ての三角形が二等辺三角形であること,さらに正三角形であることの証明を解説します。もちろんそのような命題が成立するはずはないので,証明のどこかに嘘があります。探してみてください!

全ての三角形が二等辺三角形であることの証明

「全ての三角形が二等辺三角形である,さらに正三角形である」ことの巧妙な証明です。

嘘の証明
  1. 三角形 ABCABC において,角 AA の二等分線と BCBC の垂直二等分線の交点を DD とおく。DD から AB,ACAB,AC に下ろした垂線の足を E,FE,F とおく。

  2. このとき,直角三角形 ADEADEADFADF は合同(角度が全て等しく斜辺は共通)。よって DE=DFDE=DFAE=AFAE=AF二等辺三角形であることの証明

  3. また,BCBC の中点を MM とおくと三角形 DBMDBMDCMDCM は合同(二辺とその間の角がそれぞれ等しい)。よって DB=DCDB=DC

  4. 上の二つの結果より,三角形 DEBDEBDFCDFC は合同(直角三角形において斜辺と他の一辺がそれぞれ等しい)。よって EB=FCEB=FC

  5. 以上により AB=AE+EB=AF+FC=ACAB=AE+EB=AF+FC=AC

  6. よって,三角形 ABCABC は二等辺三角形である。同じことが辺 BC,BABC,BA に対しても言えるので,結局三角形 ABCABC は正三角形である。

さあ,どこに嘘があるでしょうか? ここから下に答えがあります,答えを見る前に考えてみてください!

出題意図

(スクロールの勢い余って答えを見てしまうのを防ぐために,スペース稼ぎの意味も込めて)嘘の証明を学ぶ意味について考えてみます。

  • 単純にクイズとしておもしろい,友達に出題したくなる。
  • それっぽい証明の穴をつくのは数学の研究でも重要。
  • 嘘の証明から学ぶこともある。この場合は図形問題の練習になる。

答え

意外な所に落とし穴があります!

二等辺三角形でない

DD が三角形 ABCABC の内部にはないので上の図が間違っている。よって,5において AB=AE+EBAB=AE+EB 成立しないので証明は間違い。

というのが答えです。例えば AB<ACAB <AC のとき,角 AA の二等分線と BCBC の交点を XX とおくと,角の二等分線定理より BX<BMBX <BM となり, 線分 AXAXBCBC の垂直二等分線と交わりません。

正三角形であることの証明アゲイン

上の「答え」に対して,嘘の証明を修正してみました!

嘘の証明

全て正三角形

DD が三角形 ABCABC の外部にあるときも,さきほどの証明において1〜4は成立する。

5は AB=AEEB=AFFC=ACAB=AE-EB=AF-FC=AC と修正することで結局 AB=ACAB=AC が証明できる。よって,三角形 ABCABC は二等辺三角形であり,したがって(対称性より)正三角形である。

この証明の反論も考えてみてください!下に答えがあります。

アゲインの答え

完全な答え

やっぱり図が間違いです。正しい図を書いてみると,例えば AB<ACAB <AC のとき, EE は線分 ABAB 上になく,一方 FF は線分 ACAC 上にあります。したがって,AB=AEEB,AC=AF+FCAB=AE-EB,\:AC=AF+FC になります。よって,やはり5の部分が間違い。

ちなみに,このような図になるのは以下のいずれかの方法で納得できます。

最終的にシムソンの定理で説明できることに感動。

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