攻略！ テイラー展開・マクローリン展開

$f(x) = \tan x$ とおく。

$(\tan x)' = 1 + \tan^2 x$ であった。よって $f'(0) = 1$ である。

$$\begin{aligned} f'' (x) &= (1 + \tan^2 x)'\\ &= 2 \tan x (\tan x)'\\ f'''(x) &= 2 \{ (\tan x)' \}^2 + 2 \tan x (\tan x)'' \end{aligned}$$ より $$\begin{aligned} f''(0) &=0\\ f'''(0) &= 2 \cdot 1^2 + 0\\ &= 2 \end{aligned}$$

よって $$\tan x = x + \dfrac{1}{3} x^3 + o(x^3)$$ である。

$$\begin{aligned} &(\sin x)^2\\ &= \left( x - \dfrac{1}{3!} x^3 + o (x^4) \right)^2\\ &= x^2 - 2 \cdot x \cdot \dfrac{1}{3!} x^3 + o(x^4)\\ &= x^2 - \dfrac{1}{3} x^4 + o (x^4) \end{aligned}$$

別解

$$\begin{aligned} &(\sin x)^2\\ &= \dfrac{1-2\cos 2x}{2}\\ &= \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2} \left\{ 1 - \dfrac{1}{2!} \cdot (2x)^2 + \dfrac{1}{4!} \cdot (2x)^4 + o(x^4) \right\}\\ &= \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2} + x^2 - \dfrac{1}{3} x^4 + o (x^4)\\ &= x^2 - \dfrac{1}{3} x^4 + o (x^4) \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} &\log (\cos x)\\ &= \log \left( 1 + \left( - \dfrac{1}{2} x^2 + \dfrac{1}{24} x^4 + o(x^4) \right) \right)\\ &= \left( - \dfrac{1}{2} x^2 + \dfrac{1}{24} x^4 + o(x^4) \right)\\ &\qquad -\dfrac{1}{2} \left( -\dfrac{1}{2} x^2 + \dfrac{1}{24} x^4 + o(x^4) \right)^2 + o(x^4)\\ &= -\dfrac{1}{2}x^2 + \dfrac{1}{24} x^4 + \dfrac{1}{2} \cdot \left( -\dfrac{1}{2}x^2 \right)^2 + o (x^4)\\ &= -\dfrac{1}{2} x^2 - \dfrac{1}{12} x^4 + o(x^4) \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} &\dfrac{x}{e^x-1}\\ &= \dfrac{x}{x + \dfrac{1}{2!}x^2 + \dfrac{1}{3!} x^3 + \cdots}\\ &= \dfrac{1}{1 + \dfrac{1}{2!} x + \dfrac{1}{3!} x^2 + \cdots}\\ &= \left\{ 1 + \left( \dfrac{1}{2!} x + \dfrac{1}{3!} x^2 + \dfrac{1}{4!} x^3 + \dfrac{1}{5!} x^4 + o(x^4) \right) \right\}^{-1} \\ &= 1 - \left( \dfrac{1}{2!} x + \dfrac{1}{3!} x^2 + \dfrac{1}{4!} x^3 + o(x^3) \right)\\ &\quad + \left( \dfrac{1}{2!} x + \dfrac{1}{3!} x^2 + o(x^2) \right)^2 - \left( \dfrac{1}{2!} x + o(x^2) \right)^3 \\ &= 1 - \left( \dfrac{1}{2} x + \dfrac{1}{6} x^2 + \dfrac{1}{24} x^3 \right)\\ &\qquad + \left( \dfrac{1}{4} x^2 + \dfrac{1}{6} x^3 \right) - \dfrac{1}{8} x^3 + o(x^3)\\ &= 1 - \dfrac{1}{2} x + \dfrac{1}{12} x^2 + o(x^3) \end{aligned}$$

$y = \arctan x$ の辺々微分をすると $y' = \dfrac{1}{1+x^2}$ であり， $$\dfrac{1}{1+x^2} = 1 - x^2 + o(x^3)$$ である。

項別に積分すると $$\arctan x = x - \dfrac{1}{3} x^3 + o(x^4)$$ となる。