arctan のマクローリン展開を用いた円周率の計算～大阪大学挑戦枠2013

$\displaystyle I = \int_0^{2-\sqrt{3}} \dfrac{dx}{1+x^2}$ とおく。

まず $I$ を計算する。

半角の公式より $$\begin{aligned} \tan^2 \dfrac{\pi}{12} &= \dfrac{1-\cos \dfrac{\pi}{6}}{1+\cos \dfrac{\pi}{6}}\\ &= \dfrac{1-\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{1+\dfrac{\sqrt{3}}{2}}\\ &= \dfrac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}} \\ &= (2-\sqrt{3})^2 \end{aligned}$$ である。$\tan \dfrac{\pi}{12} > 0$ より $\tan \dfrac{\pi}{12} = 2-\sqrt{3}$ である。

$\alpha$ を $0 < \alpha < \dfrac{\pi}{2}$ で $\tan \alpha = 2-\sqrt{3}$ を満たす実数とする。

$x = \tan t$ とおくと $$\begin{aligned} I &= \int_0^{\frac{\pi}{12}} \dfrac{1}{1+\tan^2 t} \dfrac{dt}{\cos^2 t}\\ &= \int_0^{\frac{\pi}{12}} dt\\ &= \dfrac{\pi}{12} \end{aligned}$$ となる。

$0 < x < 2-\sqrt{3}$ の範囲で $$\begin{aligned} 0 < &\dfrac{x^{4n}}{1+x^2} < \dfrac{(2-\sqrt{3})^{4n}}{1+x^2}\\ 0 < &\dfrac{x^{4n+2}}{1+x^2} < \dfrac{(2-\sqrt{3})^{4n+2}}{1+x^2} \end{aligned}$$ より $$\begin{aligned} 0 < \int_0^{2-\sqrt{3}} \dfrac{x^{4n}}{1+x^2}dx &< \int_0^{2-\sqrt{3}} \dfrac{(2-\sqrt{3})^{4n}}{1+x^2}dx\\ &< \dfrac{(2-\sqrt{3})^{4n} \pi}{4}\\ 0 < \int_0^{2-\sqrt{3}} \dfrac{x^{4n+2}}{1+x^2}dx &< \int_0^{2-\sqrt{3}} \dfrac{(2-\sqrt{3})^{4n+2}}{1+x^2}dx\\ &< \dfrac{(2-\sqrt{3})^{4n+2} \pi}{4} \end{aligned}$$ である。よって $$\begin{aligned} \dfrac{\pi}{4} < &a_n < \left\{ 1-(2-\sqrt{3})^{4n} \right\} \dfrac{\pi}{4}\\ \dfrac{\pi}{4} < &b_n < \left\{ 1+(2-\sqrt{3})^{4n+2} \right\} \dfrac{\pi}{4} \end{aligned}$$ である。

$0 < 2-\sqrt{3} < 1$ であるため， $$\begin{aligned} \lim_{n \to \infty} (2-\sqrt{3})^{4n} &= 0\\ \lim_{n \to \infty} (2-\sqrt{3})^{4n+2} &= 0 \end{aligned}$$ である。

ゆえに $$\begin{aligned} \lim_{n \to \infty} \left\{ 1-(2-\sqrt{3})^{4n} \right\} \dfrac{\pi}{4} &= \dfrac{\pi}{4}\\ \lim_{n \to \infty} \left\{ 1+(2-\sqrt{3})^{4n+2} \right\} \dfrac{\pi}{4} &= \dfrac{\pi}{4} \end{aligned}$$ である。

こうしてハサミウチの原理から $$a_n = b_n = \dfrac{\pi}{12}$$ である。

$$\dfrac{1-x^{4n}}{1+x^2} = 1 - x^2 + x^4 - \cdots + x^{2n-2}\\ \dfrac{1+x^{4n}}{1+x^2} = 1 - x^2 + x^4 - \cdots - x^{2n}$$ より $$\begin{aligned} a_n &= \int_0^{2-\sqrt{3}} \dfrac{1-x^{4n}}{1+x^2} dx\\ &= \int_0^{2-\sqrt{3}} \sum_{k=0}^{n-1} (-1)^k x^{2k}\\ &= \sum_{k=0}^{n-1} (-1)^k \dfrac{(2-\sqrt{3})^{2k+1}}{2k+1}\\ b_n &= \int_0^{2-\sqrt{3}} \dfrac{1+x^{4n}}{1+x^2} dx\\ &= \int_0^{2-\sqrt{3}} \sum_{k=0}^{n} (-1)^k x^{2k}\\ &= \sum_{k=0}^{n} (-1)^k \dfrac{(2-\sqrt{3})^{2k+1}}{2k+1} \end{aligned}$$ である。

どちらも $\dfrac{\pi}{12}$ に収束するため $$\sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \dfrac{(2-\sqrt{3})^{2k+1}}{2k+1} = \dfrac{\pi}{12}$$ である。

こうして $$\pi = 12 \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \dfrac{(2-\sqrt{3})^{2k+1}}{2k+1}$$ を得る。

$$0.2679491 < 2-\sqrt{3} < 0.2679492$$ である。

これを元に各項の評価をする。

• 0項目 $$3.2153892 < 12 \times (2-\sqrt{3}) < 3.2153892$$

• 1項目 $$4 \times 0.267^3 < \dfrac{12}{3} \times (2-\sqrt{3})^3 < 4 \times 0.268^3\\ 0.07613 < \dfrac{12}{3} \times (2-\sqrt{3})^3 < 0.07699$$

• 2項目 $$\dfrac{12}{5}\times 0.26^5 < \dfrac{12}{5} \times (2-\sqrt{3})^5 < \dfrac{12}{5} \times 0.27^5\\ 0.00285 < \dfrac{12}{5} \times (2-\sqrt{3})^5 < 0.00344$$

• 3項目 $$\begin{aligned} \dfrac{12}{7} \times 0.2^7 < 12 \times \dfrac{(2-\sqrt{3})^7}{7} < \dfrac{12}{7} \times 0.3^7\\ 0.0002 < 12 \times \dfrac{(2-\sqrt{3})^7}{7} < 0.0003 \end{aligned}$$

• 4項目以降 $$\begin{aligned} 12 \times \dfrac{(2-\sqrt{3})^{2k+1}}{2k+1} &< \dfrac{12}{2k+1} \times 0.3^{2k+1} \\ &< \dfrac{12}{7} \times 0.3^{7} \times 0.3^{2k-6}\\ &= \dfrac{12}{7} \times 0.3^{7} \times 0.09^{k-3}\\ &< 0.0003 \times 0.1^{k-3} \end{aligned}$$ 及び $$12 \times \dfrac{(2-\sqrt{3})^{2k+1}}{2k+1} > 0$$ より $$\begin{aligned} &0.0003 \times (0 - 0.1^{2} + 0 - 0.1^4 + \cdots)\\ &< 12 \sum_{k=4}^{\infty} (-1)^{k} \dfrac{(2-\sqrt{3})^{2k+1}}{2k+1}\\ &< 0.0003 \times (0.1^{1} + 0 + 0.1^3 + \cdots \cdots) \end{aligned}$$ であるため $$\begin{aligned} &-0.0003 \times 0.0101\ldots\\ &< 12 \sum_{k=4}^{\infty} (-1)^{k} \dfrac{(2-\sqrt{3})^{2k+1}}{2k+1}\\ &< 0.0003 \times 0.1010\ldots \end{aligned}$$ である。よって，４項目以降は計算したい評価に関与しない。

こうして $$\begin{aligned} &3.2153892-0.07699+0.00285-0.0003\\ &< \pi < 3.2153892-0.07613+0.00344-0.0002 \end{aligned}$$ つまり $$3.1409492 < \pi < 3.1424992$$ である。したがって $$3.141 < \pi < 3.142$$ が示された。