極限

$y=\dfrac{\sin x}{x}$ はsinc関数と呼ばれる有名な関数である。

$1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+\cdots=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{(-1)^{k-1}}{k}=\log 2$

$\displaystyle\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)}{g(x)}$ が $\dfrac{0}{0}$ または $\dfrac{\infty}{\infty}$ の不定形で「ある条件」を満たせば， $$\lim_{x \to a} \dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}$$

$$S=\prod_{n=1}^{\infty}\dfrac{(2n)^2}{(2n-1)(2n+1)}=\dfrac{\pi}{2}$$

$$n!\simeq\sqrt{2\pi n}\left(\dfrac{n}{e}\right)^n$$

$$\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{(-1)^{k-1}}{2k-1}=1-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{7}\cdots=\dfrac{\pi}{4}$$

任意の自然数 $n$ に対して（または十分大きな $n$ に対して）

$a_n \leq b_n \leq c_n$ が成立し，

$\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}c_n=\alpha$ なら

$\displaystyle\lim_{n\to\infty}b_n=\alpha$

平方数の逆数和は $\dfrac{\pi^2}{6}$ に収束する。つまり， $$\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{k^2}=1+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{9}+\cdots=\dfrac{\pi^2}{6}$$

数列 $a_n$ に対して，$c_n=\dfrac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n}$ をチェザロ平均という。

$\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\alpha$ なら $\displaystyle\lim_{n\to\infty}c_n=\alpha$

$$\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1\\ \lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos x}{x^2} = \dfrac{1}{2}\\ \lim_{x \to 0} \dfrac{\tan x}{x} = 1$$