ベンフォードの法則と京大数学2024

$a_k$ の整数部分が $n$ 桁であることを不等式で表すと $$10^{n-1} \leqq 2^{\sqrt{k}} \leqq 10^n$$ となる。対数を取って二乗することで $k$ について解くと $$\left( \dfrac{n-1}{\log_{10} 2} \right)^2 \leqq k \leqq \left( \dfrac{n}{\log_{10} 2} \right)^2$$ であるため $$N_n = \left[ \left( \dfrac{n}{\log_{10} 2} \right)^2 \right] - \left[ \left( \dfrac{n-1}{\log_{10} 2} \right)^2 \right]$$ となる。

$a_k$ の整数部分が $n$ 桁で，最高位の数が $1$ であることを不等式で表すと $$10^{n-1} \leqq 2^{\sqrt{k}} \leqq 2 \times 10^{n-1}$$ となる。同様に $k$ について解くと $$\left( \dfrac{n-1}{\log_{10} 2} \right)^2 \leqq k \leqq \left( \dfrac{n-1}{\log_{10} 2} +1 \right)^2$$ であるため $$L_n = \left[ \left( \dfrac{n-1}{\log_{10} 2} +1 \right)^2 \right] - \left[ \left( \dfrac{n-1}{\log_{10} 2} \right)^2 \right]$$ となる。

$x-1 \leqq [x] < x$ であるため $$\left( \dfrac{n}{\log_{10} 2} \right)^2 - \left( \dfrac{n-1}{\log_{10} 2} \right)^2 - 1 < N_n < \left( \dfrac{n}{\log_{10} 2} \right)^2 - \left( \dfrac{n-1}{\log_{10} 2} \right)^2 + 1\\ \left( \dfrac{n-1}{\log_{10} 2} +1 \right)^2 - \left( \dfrac{n-1}{\log_{10} 2} \right)^2 - 1 < L_n < \left( \dfrac{n-1}{\log_{10} 2} +1 \right)^2 - \left( \dfrac{n-1}{\log_{10} 2} \right)^2 + 1$$ である。

$$\begin{aligned} &\left( \dfrac{n}{\log_{10} 2} \right)^2 - \left( \dfrac{n-1}{\log_{10} 2} \right)^2\\ &= \dfrac{2n-1}{(\log_{10} 2)^2}\\ &\left( \dfrac{n-1}{\log_{10} 2} +1 \right)^2 - \left( \dfrac{n-1}{\log_{10} 2} \right)^2\\ &= \dfrac{2(n-1)}{\log_{10}2} + 1 \end{aligned}$$ に注意すると $$\dfrac{2(n-1)(\log_{10} 2)}{2n-1+(\log_{10} 2)^2} < \dfrac{L_n}{N_n} < \dfrac{2(n-1)(\log_{10} 2)+2(\log_{10}2)^2}{2n-1-(\log_{10} 2)^2}$$ を得る。

$$\lim_{n \to \infty} \dfrac{2(n-1)(\log_{10} 2)}{2n-1+(\log_{10} 2)^2} = \log_{10} 2\\ \lim_{n \to \infty} \dfrac{2(n-1)(\log_{10} 2)+2(\log_{10}2)^2}{2n-1-(\log_{10} 2)^2} = \log_{10} 2$$ である。はさみうちの法則より $\displaystyle \dfrac{L_n}{N_n} = \log_{10} 2$ である。