常用対数の意味と計算（桁数・最高位の数）

$N$ の常用対数を取ると，

$$\log_{10}2^{30}=30\log_{10}2=9.030$$

よって，$9\leqq \log_{10} 2^{30}< 10$ なので桁数を求めるための公式より $2^{30}$ は $10$ 桁の数である。

本筋からそれるが，$2^{30}$ くらいなら自力で計算できる。 $2^{10}=1024$ は多くの人が覚えているだろう。よって $1000^{3} < 2^{30} < 2000^{3}$ となる。$1000^3$ と $2000^3$ は $10$ 桁の数なので $2^{30}$ も $10$ 桁の数。

さきほど計算したように， $$\log_{10}2^{30}=9.030$$

小数部分 $0.03$ は $\log_{10}1=0$ より大きく $\log_{10}2=0.3010$ より小さい。

つまり， $$9+\log_{10}1\leqq \log_{10}2^{30} < 9+\log_{10}2$$

よって $$10^{9}\leqq 2^{30} < 2\cdot 10^9$$

つまり最高位の数は $1$ である。

これくらいの計算は突破できる気合いが欲しい。

$2^{30}=1024^3=1073741824$ なので最高位の数は $1$

$$\begin{aligned} &\log_{10}6^{200}\\ &=200(\log_{10}2+\log_{10}3)\\ &=155.62 \end{aligned}$$

よって， $$155\leqq \log_{10}6^{200}< 156$$ より $$10^{155}\leqq 6^{200} < 10^{156}$$

よって $6^{200}$ は $156$ 桁である。

$\log_{10}6^{200}$ の小数部分は $0.62$ である。

$$\log_{10}4=2\log_{10}2=0.6020$$

$$\log_{10}5=1-\log_{10}2=0.6990$$

より， $$155+\log_{10}4\leqq \log_{10}6^{200}< 155+\log_{10}5$$

よって， $$4\cdot 10^{155}\leqq 6^{200} < 5 \cdot 10^{155}$$

つまり最高位の数は $4$ である。