常用対数の意味と計算（桁数・最高位の数）

更新日時 2023/06/08

常用対数の意味と応用例を紹介します。常用対数を使えば「 $2^{30}$ の桁数を計算せよ」のような問題も解けます。

常用対数とは

常用対数

常用対数とは， $10$ を底とする対数 $\log_{10}N$ のこと。

つまり， $10^x=N$ を満たす $x$ のこと。

例

$10^2=100$ であるので $\log_{10}100=2$

$10^3=1000$ であるので $\log_{10}1000=3$

このように，常用対数 $\log_{10}N$ は $10$ を何乗したら $N$ になるか？を表す数とも言えます。

常用対数の計算

$\log_{10}2\fallingdotseq 0.3010$ ， $\log_{10}3\fallingdotseq 0.4771$ など計算に必要な値は問題文で与えられます。覚えておいても良いです。→常用対数の覚え方と検算への応用
また，以下の対数の公式を使うことも多いです。

対数の性質

$\log_aMN=\log_aM+\log_aN$

$\log_a\dfrac{M}{N}=\log_aM-\log_aN$

$\log_a M^r = r \log_a M$ 　( $r$ は実数)

詳細は→対数(log)の定義・計算方法・便利な公式まとめ

例

$\log_{10}12$ を計算してみよう。

まず対数の公式を使うと

$\log_{10}12=\log_{10}(2^2\times 3)\\ =\log_{10}2^2+\log_{10}3\\ =2\log_{10}2+\log_{10}3$

ここで $\log_{10}2\fallingdotseq 0.3010$ ， $\log_{10}3\fallingdotseq 0.4771$ を使うと，

$2\times 0.3010+0.4771=1.0791$ となる。

常用対数表

常用対数表を使うこともあります。例えば $\log_{10}1.23$ を求めたいときは，

小数第一位までの値 $1.2$ の行を探し
小数第二位の値 $3$ の列を探し
その行と列に対応する値 $0.0899$ を読み取る

という手順で $\log_{10}1.23\fallingdotseq 0.0899$ がわかります。常用対数表

常用対数を使って桁数を求める

常用対数を用いることで，大きな数の桁数を計算できます。

例えば，

$N$ が $3$ 桁の数
$\iff 100\leqq N< 1000$
$\iff 2\leqq\log_{10} N<3$

となります。より一般に，以下の公式が成立します。

桁数を求めるための公式

正の整数 $N$ が $n$ 桁の数
$\iff 10^{n-1} \leqq N < 10^n$
$\iff n-1\leqq \log_{10}N < n$

2行目では，左側は等号つき不等号，右側は等号なし不等号です。2行目の各辺の常用対数を取ると3行目になります。

例題

$N=2^{30}$ の桁数を求めよ。ただし， $\log_{10}2=0.3010$ として計算せよ。

解答

$N$ の常用対数を取ると，

$\log_{10}2^{30}=30\log_{10}2=9.030$

よって， $9\leqq \log_{10} 2^{30}< 10$ なので桁数を求めるための公式より $2^{30}$ は $10$ 桁の数である。

別解（余談）

本筋からそれるが， $2^{30}$ くらいなら自力で計算できる。 $2^{10}=1024$ は多くの人が覚えているだろう。よって $1000^{3} < 2^{30} < 2000^{3}$ となる。 $1000^3$ と $2000^3$ は $10$ 桁の数なので $2^{30}$ も $10$ 桁の数。