常用対数を用いた桁数と最高位の数の計算

$N$ の常用対数を取ると，

$\log_{10}2^{30}=30\log_{10}2=9.030$

よって，$9\leq \log_{10} 2^{30}< 10$ なので桁数を求めるための公式より $2^{30}$ は $10$ 桁の数である。

本筋からそれるが，$2^{30}$ くらいなら自力で計算できる。 $2^{10}=1024$ は多くの人が覚えているだろう。よって $1000^{3} < 2^{30} < 2000^{3}$ となる。$1000^3$ と $2000^3$ は $10$ 桁の数なので $2^{30}$ も $10$ 桁の数。

さきほど計算したように，$\log_{10}2^{30}=9.030$

小数部分 $0.03$ は $\log_{10}1=0$ より大きく $\log_{10}2=0.3010$ より小さい。

つまり，$9+\log_{10}1\leq \log_{10}2^{30} < 9+\log_{10}2$

よって $10^{9}\leq 2^{30} < 2\cdot 10^9$

つまり最高位の数は $1$ である。

これくらいの計算は突破できる気合いが欲しい。

$2^{30}=1024^3=1073741824$ なので最高位の数は $1$

$\log_{10}6^{200}\\ =200(\log_{10}2+\log_{10}3)\\ =155.62$

よって，$155\leq \log_{10}6^{200}< 156$ より $10^{155}\leq 6^{200} < 10^{156}$

よって $6^{200}$ は $156$ 桁である。

$\log_{10}6^{200}$ の小数部分は $0.62$ である。

$\log_{10}4=2\log_{10}2=0.6020$

$\log_{10}5=1-\log_{10}2=0.6990$

より，$155+\log_{10}4\leq \log_{10}6^{200}< 155+\log_{10}5$

よって，$4\cdot 10^{155}\leq 6^{200} <5\cdot 10^{155}$

つまり最高位の数は $4$ である。