回転体の体積を求める公式

$x^2+y^2=r^2$ を $y$ について解くと $y=\pm\sqrt{r^2-x^2}$ となることに注意する。

求めるものは，$y=\sqrt{r^2-x^2}$ と $x=-r$ ，$x=r$ ，$x$ 軸で囲まれた領域を $x$ 軸のまわりに回転させてできる図形の体積と考えられるので，

$$\begin{aligned} V &= \int_{-r}^r\pi\{\sqrt{r^2-x^2}\}^2dx\\ &= 2\pi \int_{0}^r(r^2-x^2)dx\\ &= 2\pi\left[r^2x-\dfrac{x^3}{3}\right]_{0}^r\\ &= \dfrac{4}{3}\pi r^3 \end{aligned}$$

$y=f(x)$ と $x=a$，$x=t$，$x$ 軸で囲まれた領域を $x$ 軸のまわりに回転させてできる図形の体積を $V(t)$ とおく。求めたいものは $V(b)$ である。

$t$ を少し大きくして $t+\Delta t$ としたときに $V(t)$ がどれくらい変化するか考えると，

$$\pi m^2\Delta t\leqq V(t+\Delta t)-V(t)\leqq\pi M^2\Delta t$$

を得る。ただし，$m$ は $t$ から $t+\Delta t$ 内の $|f(x)|$ の最小値で $M$ は最大値とする。

各辺を $\Delta t$ で割る： $$\pi m^2\leqq \dfrac{V(t+\Delta t)-V(t)}{\Delta t}\leqq \pi M^2$$

ここで，各辺 $\Delta t\to 0$ の極限を取る。左辺と右辺は $\pi \{f(t)\}^2$ に収束し，中辺は微分の定義より $V'(t)$ 。

したがって，はさみ打ちの原理より，$V'(t)=\pi\{f(t)\}^2$ となる。

よって（これと $V(a)=0$ であることを用いると）求める公式を得る。