複利法の意味と計算方法，具体例

単利法 とは 元金だけに利息が発生する方式です。

複利法 とは 毎年利子を元金に繰入れる方式です。

複利法の計算方法をもう少し詳しく解説します。

まず，単利法，複利法といった利息の計算について考えるときには，以下の4つの要素：

• 元金 $a$
• 年利率 $r$
• 年数 $n$
• 最終段階で持っている金額 $b$

を意識する必要があります。分野，問題，状況によっていろいろな表現が使われるので注意が必要です。

そして，複利法の計算では，基本的に以下の公式だけを覚えておけばOKです。 $$b=a(1+r)^n$$

一つの公式 $b=a(1+r)^n$ を覚えておくだけで $a,r,n,b$ のうち3つ分かれば残りの一つも分かるというのが重要です。以下，複利法の計算問題を３問解説します。

複利計算の公式 $b=a(1+r)^n$ を使って年利率 $r$ を計算してみます。

複利計算の公式 $b=a(1+r)^n$ を使って年数 $n$ を計算してみます。

複利計算の公式： $$b=a(1+r)^n$$ が成立する理由を説明します。

• 初期状態： 元金 $a$

• 1年経過時の金額： 「元金＋この1年で増えた利子のぶん」で， $$a+ar=a(1+r)$$

• 2年経過時の金額： 「1年経過時の金額＋この1年で増えた利子のぶん」で， $$a(1+r)+a(1+r)r=a(1+r)^2$$

• 3年経過時の金額： 「2年経過時の金額＋この1年で増えた利子のぶん」で， $$a(1+r)^2+a(1+r)^2r=a(1+r)^3$$

同様に考えることで，$n$ 年後の金額は， $$b=a(1+r)^n$$ となります。ちなみに，これは $n$ に関する等比数列です。

複利法に対して，単利法という計算方法もあります。単利法とは 元金にのみ利子がかかる方式です。

• 初期状態： 元金 $a$

• 1年経過時の金額： 「元金＋この1年で増えた利子のぶん」で，$a+ar=a(1+r)$

• 2年経過時の金額： 「1年経過時の金額＋この1年で増えた利子のぶん」で，$a(1+r)+ar=a(1+2r)$

同様に考えることで，$n$ 年後の金額は， $b=a(1+nr)$

（$n$ に関する等差数列）

ちなみに単利法の計算では $b=a(1+nr)$ が成立します。複利計算の公式よりも少し単純ですね。

ちなみに，月利 $R$ と年利 $r$ の間には，以下の関係があります。

• 単利の場合 $R=\dfrac{1}{12}r$
• 複利の場合 $R=\sqrt[12]{1+r}-1$

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