f(n)を含む二項間漸化式の２通りの解法

特性方程式 $\alpha=2\alpha+3$ の解は $\alpha=-3$ であり，もとの漸化式と特性方程式を辺々引くと，$a_{n+1}+3=2(a_{n}+3)$

よって，数列 $a_{n}+3$ は初項 $1+3=4$ 公比 $2$ の等比数列なので，

$a_n+3=4\cdot 2^{n-1}$

よって，$a_n=2^{n+1}-3$

与えられた漸化式と，$n→n+1$ としたもの： $a_{n+2}=2a_{n+1}+3(n+1)-3$ の差を取ると，$a_{n+2}-a_{n+1}=2(a_{n+1}-a_n)+3$

ここで，$a_{n+1}-a_{n}=b_{n}$ とおくと，

$b_{n+1}=2b_n+3，b_1=a_2-a_1=2-1=1$ となり，これは例題1で解いた：

$b_{n}=2^{n+1}-3$

よって，階差数列が求まったので一般項も求まる：

$a_n=a_1+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}b_k\\ =1-3(n-1)+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}2^{k+1}\\ =-3n+4+4(2^{n-1}-1)\\ =2^{n+1}-3n$

一般項を $a_n=A\cdot 2^n+Bn+C$ と予想する，

漸化式を満たす

⇔ $A\cdot 2^{n+1}+B(n+1)+C=2(A\cdot 2^{n}+Bn+C)+3n-3$

⇔ $B=2B+3$ かつ $B+C=2C-3$

⇔ $B=-3,C=0$

よって，$a_n=A\cdot 2^n-3n$ が漸化式の解となるが，初期条件 $a_1=1$ より $A=2$ となるので求める一般項は

$a_n=2^{n+1}-3n$

$f(n+1)=2f(n)+3n-3$

を満たす1次式 $f(n)$ を探す。もしこのような $f(n)=An+B$ が見つれば，もとの漸化式と引き算して

$a_{n+1}-f(n+1)=2(a_{n}-f(n))$

より $a_n-f(n)=2^{n-1}(a_1-f(1))$

となり解けるからである。実際

$A(n+1)+B=2An+2B+3n-3$

より $A=2A+3,A+B=2B-3$

$A=-3,B=0$

よって $f(n)=-3n$

$a_n=f(n)+2^{n-1}(a_1-f(1))\\ =-3n+2^{n-1}(1+3)=2^{n+1}-3n$