反転にまつわる軌跡の有名問題

$P$ の座標を $(X,Y)$ とおく。$Q$ は半直線 $OP$ 上にあるので，$Q$ の座標は $(kX,kY)$ と書ける。 $OQ\cdot OP=1$ より $$k\sqrt{X^2+Y^2}\cdot\sqrt{X^2+Y^2}=1$$ よって，$k=\dfrac{1}{X^2+Y^2}$ となり， $$Q\left(\dfrac{X}{X^2+Y^2},\dfrac{Y}{X^2+Y^2}\right)$$

$Q$ が $ax+by=0$ （$(x,y)\neq (0,0)$ ）を動くとき， $$\dfrac{aX}{X^2+Y^2}+\dfrac{bY}{X^2+Y^2}=0$$

よって，$aX+bY=0$ となり，$P$ はもとの直線と同じ直線上を動く。

$Q$ が $ax+by+c=0$ を動くとき， $$\dfrac{aX}{X^2+Y^2}+\dfrac{bY}{X^2+Y^2}+c=0$$

$c\neq 0$ に注意してこれを変形していく： $$aX+bY+cX^2+cY^2=0$$ $$\left(X+\dfrac{a}{2c}\right)^2+\left(Y+\dfrac{b}{2c}\right)^2=\dfrac{a^2+b^2}{4c^2}$$ つまり，$P$ は原点を通る円周上を動く。（ただし原点は除く）

$Q$ が $$(x-a)^2+(y-b)^2=a^2+b^2$$ 上を動くとき， $$\left(\dfrac{X}{X^2+Y^2}-a\right)^2+\left(\dfrac{Y}{X^2+Y^2}-b\right)^2=a^2+b^2$$

これを変形していく： $$\dfrac{X^2+Y^2}{(X^2+Y^2)^2}-\dfrac{2aX+2bY}{X^2+Y^2}=0$$ $$2aX+2bY-1=0$$ つまり，$P$ は原点を通らない直線上を動く。

$Q$ が $$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$ 上を動くとき， $$\left(\dfrac{X}{X^2+Y^2}-a\right)^2+\left(\dfrac{Y}{X^2+Y^2}-b\right)^2=r^2$$ これを変形していく。見やすくするために $$c=r^2-a^2-b^2\:(c\neq 0)$$ とおくと， $$\dfrac{X^2+Y^2}{(X^2+Y^2)^2}-\dfrac{2aX+2bY}{X^2+Y^2}=c$$ $$X^2+Y^2+\dfrac{2aX}{c}+\dfrac{2bY}{c}=\dfrac{1}{c}$$ $$\left(X+\dfrac{a}{c}\right)^2+\left(Y+\dfrac{b}{c}\right)^2=\dfrac{1}{c}+\dfrac{a^2+b^2}{c^2}=\dfrac{r^2}{c^2}$$ つまり，$P$ は原点を通らない円周上を動く。