整数部分と小数部分の意味と例題

• 整数部分は「$\sqrt{5}$ 以下の整数で最大のもの」である。 $\sqrt{5}$ は $2$ より大きく $3$ より小さいので，整数部分は $2$
• 小数部分は，もとの数から整数部分を引けばいいので 小数部分は $\sqrt{5}-2$

• $-2.3$ の整数部分は 「$-2.3$ 以下の整数で最大のもの」である。 つまり，整数部分は $-3$，小数部分は「もとの数ー整数部分」なので，$-2.3-(-3)=0.7$

• 同様に，$-\pi$ の整数部分は $-4$，小数部分は $-\pi-(-4)=4-\pi$

$\sqrt{5}$ は $2.236$ くらいなので，$3+\sqrt{5}=5.236$ くらい。 $\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}$ は $2.6$ くらい。

よって，$\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}$ の整数部分は $2$，小数部分は $\left(\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}\right)-2=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$

$4< 5 < 9$ より各辺のルートをとると $2< \sqrt{5} < 3$ である。

よって，$\dfrac{5}{2}<\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}< 3$

つまり，$\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}$ の整数部分は $2$，小数部分は $\left(\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}\right)-2=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$

$5 < 4+\sqrt{3}< 6$ より，$a=5,b=\sqrt{3}-1$

地道に計算すると，求める値は

$5^2+2\cdot 5\cdot(\sqrt{3}-1)+(\sqrt{3}-1)^2+2(\sqrt{3}-1)\\ =25+10\sqrt{3}-10+4-2\sqrt{3}+2\sqrt{3}-2\\ =17+10\sqrt{3}$

$a=5$，$a+b=4+\sqrt{3}$ より，求める値は

$(a+b)^2+2(a+b)-2a\\ =(4+\sqrt{3})^2+2(4+\sqrt{3})-2\cdot 5\\ =19+8\sqrt{3}+8+2\sqrt{3}-10\\ =17+10\sqrt{3}$