チェザロ平均の性質と関連する東大の問題

（1）まず，帰納的に $a_n > 0$ であることが分かる。よって，

$$\begin{aligned} b_{n+1} &= \dfrac{1}{a_{n+1}}\\ &=\dfrac{(1+a_n)^2}{a_n}\\ &>\dfrac{1}{a_n}+2\\ &=b_n+2 \end{aligned}$$

これと $b_1=2$ であることから（帰納的に）$b_n > 2n$ が分かる。

（2）$0\leq a_n \leq \dfrac{1}{2n}$ なのではさみうちの原理から，$\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=0$

よって，冒頭の定理より $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{a_1+\cdots +a_n}{n}=0$

$\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\alpha$ なので，任意の $\varepsilon > 0$ に対してある $N$ が存在して，$n > N$ なら $|a_n-\alpha| < \varepsilon$

よって，$N$ より大きい $n$ に対して

$$\begin{aligned} |c_n-\alpha| &=\left| \sum_{k=1}^n\dfrac{a_k-\alpha}{n} \right|\\ &\leq \dfrac{1}{n} \sum_{k=1}^n | a_k - \alpha |\\ &= \dfrac{1}{n} \sum_{k=1}^N | a_k - \alpha | + \dfrac{1}{n} \sum_{k=N+1}^n |a_k-\alpha|\\ &< \dfrac{1}{n} \sum_{k=1}^N |a_k-\alpha| + \dfrac{(n-N)\varepsilon}{n}\\ &< \dfrac{1}{n} \sum_{k=1}^N | a_k - \alpha | + \varepsilon \end{aligned}$$

よって， $$\dfrac{1}{n_0} \sum_{k=1}^N |a_k-\alpha|\leq \varepsilon$$

となるくらい大きい整数 $n_0$ を持ってくれば，$n> n_0$ なら $|c_n-\alpha| < 2\varepsilon$

が成立する。つまり，$\displaystyle\lim_{n\to\infty}c_n=\alpha$