調和級数1+1/2+1/3...が発散することの３通りの証明

$$\begin{aligned} &1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}\\ &> 1+\dfrac{1}{2}+\left(\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}\right)\\ &=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2} \end{aligned}$$

が成立する。

$$\begin{aligned} &1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{8}\\ &>1+\dfrac{1}{2}+\left(\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}\right)+\left(\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{8}\right)\\ &=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2} \end{aligned}$$

も成立する。

この変形を一般化すると，以下の不等式が得られる：

$$\sum_{k=1}^{2^p}\dfrac{1}{k} \geq 1+\dfrac{p}{2}$$

$p\to\infty$ とすると右辺は発散するので左辺も発散する。

以上から調和級数が発散することが示された。

$$\begin{aligned} &\exp\left(1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\cdots+\dfrac{1}{n}\right)\\ &=\exp(1)\exp\left(\dfrac{1}{2}\right)\exp\left(\dfrac{1}{3}\right)\exp\left(\dfrac{1}{4}\right)\cdots\exp\left(\dfrac{1}{n}\right)\\ &\geq (1+1)\left(1+\dfrac{1}{2}\right)\left(1+\dfrac{1}{3}\right)\left(1+\dfrac{1}{4}\right)\cdots\left(1+\dfrac{1}{n}\right)\\ &=2\cdot \dfrac{3}{2}\cdot \dfrac{4}{3}\cdot \dfrac{5}{4}\cdot\cdots\cdot\dfrac{n+1}{n}\\ &=n+1 \end{aligned}$$

よって， $$\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{k}\geq \log(n+1)$$

$n\to\infty$ とすると右辺は発散するので左辺も発散する。

図より， $$\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k}\geq\int_{1}^{n+1}\dfrac{1}{x}dx=\log(n+1)$$

となる。$n\to\infty$ とすると右辺は発散するので左辺も発散する。