無限和，無限積の美しい公式まとめ

• 無限等比級数 $$a+ar+ar^2+ar^3+\cdots=\dfrac{a}{1-r}$$ ただし，$-1<r<1$ とします。教科書に載っている重要公式です。
  →無限等比級数の収束，発散の条件と証明など

• 調和級数： $$1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\cdots=\infty$$ 調和級数が発散することはいろいろな方法で証明できます。
  →調和級数1+1/2+1/3…が発散することの証明

• ニュートン・メルカトル級数： $$1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+\cdots=\log 2$$ 全部足すと発散しましたが，交互に足し引きすると収束します。交代級数の式変形のテクニックがおもしろいです。
  →log2に収束する交代級数の証明

• グレゴリー・ライプニッツ級数： $$1-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{7}+\cdots =\dfrac{\pi}{4}$$ 円周率が登場するのがおもしろいです。
  →グレゴリー・ライプニッツ級数の2通りの証明

• バーゼル問題： $$1+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{4^2}+\cdots=\dfrac{\pi^2}{6}$$ かなり難しいですが高校数学で $\zeta(2)$ が求まります。
  →バーゼル問題の初等的な証明

• 素数の逆数和： $$\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{7}+\cdots =\infty$$ 平方数の逆数和は収束しましたが，素数の逆数和は発散します！
  →素数の逆数和が発散することの証明

級数に関する一般論

• マクローリン展開
  →マクローリン展開

• テイラー展開
  →テイラーの定理の例と証明

• フーリエ級数展開
  →フーリエ級数展開の公式と意味

• オイラーの公式： $$\cos\dfrac{x}{2}\cos\dfrac{x}{4}\cos\dfrac{x}{8}\cos\dfrac{x}{16}\cdots=\dfrac{\sin x}{x}$$

• ヴィエトの無限積： $$\dfrac{\sqrt{2}}{2}\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2}\cdots=\dfrac{2}{\pi}$$ サインの倍角公式を繰り返し用いて得られる美しい公式です。 オイラーの公式と合わせて以下の記事で解説しています。
  →ヴィエトの無限積の公式

• ウォリスの公式： $$\dfrac{2\cdot 2}{1\cdot 3}\times\dfrac{4\cdot 4}{3\cdot 5}\times\dfrac{6\cdot 6}{5\cdot 7}\times\cdots=\dfrac{\pi}{2}$$ サインの $n$ 乗の積分公式から得られる公式です。スターリングの公式の証明でも活躍します。
  →ウォリスの公式とその2通りの証明

• スターリングの公式： $$n!\fallingdotseq\sqrt{2\pi n}\left(\dfrac{n}{e}\right)^n$$ 階乗で $n$ が無限大に発散する場合の近似公式です。大学数学でも様々な場面でお世話になる公式です。
  →スターリングの公式とその証明

• オイラー積表示： $$\displaystyle\prod_{i=1}^n\sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{1}{p_i^k}=\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{k}$$ 以下の記事の4つ目の証明で活躍します。
  →素数が無限にあることの4通りの証明