無限等比級数の収束，発散の条件と証明など

例題

まずは，無限等比級数の公式を使って例題を解いてみます。

ちなみに，無限等比級数の公式を知らなくても，$2$ に収束することは，下図を見れば納得できます。

無限等比級数とは

• 無限に続く足し算のことを無限級数と言います。
• 無限級数の中で，無限に続く等比数列の足し算のことを無限等比級数と言います。
• 例題1で見た $1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}+\cdots$ はスタート（初項）が $1$ で公比が $\dfrac{1}{2}$ である無限等比級数です。
• 等比数列の初項を $a$，公比を $r$ とおくと，無限等比級数は，
  $a+ar+ar^2+\cdots$
  と表せます。これをシグマを使って表すと，
  $a+ar+ar^2+\cdots=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}ar^{k-1}$
  となります。

無限等比級数の公式の証明

では，以下の無限等比級数の公式を証明してみましょう。

等比数列の和の公式を知っていれば，極限を取るだけで簡単に証明できます。ただし，$r=1$ の場合は等比数列の和の形が異なるので場合分けが必要です。

発散する無限等比級数の例

$|r|\geq 1$ の場合に発散しますが，これは「収束しない」の意味です。より詳しく言うと，

• $a > 0,r \geq 1$ のとき正の無限大に発散（→例題2）
• $a <0,r \geq 1$ のとき負の無限大に発散（→例題3）
• $r\leq -1$ のとき振動（→例題4）

です。→数列の発散，収束，振動の意味と具体例

補足

• 極限を取る操作のおかげで $ar^n$ の項が消えます。その結果，等比数列の和の公式 $\dfrac{a(r^n-1)}{r-1}$ よりも無限等比級数の公式の方が綺麗になります！

• 「無限級数」という言葉は「無限項の和」を表します。「無限級数の和」という言葉にはやや違和感を感じます（頭痛が痛いみたいな感じ）。

• $\dfrac{a}{1-r}$ に収束する場合について，以下が成立するのは直感的にも納得できます。
  

  • 無限等比級数の値が初項 $a$ に比例する
  • 公比 $r$ が $1$ に近いほど（絶対値が）大きくなり $r\to 1$ で発散する

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