楕円の反射定理とその証明

$A$ における法線と $x$ 軸との交点を $B$ とおく。

$\angle FAB=\angle F'AB$ を証明すればよい。これは（角の二等分線定理より），$AF:AF'=BF:BF'$ と同値。

$F(\sqrt{a^2-b^2},0),\:F'(-\sqrt{a^2-b^2},0)$ に注意する。

・ $AF,AF'$の長さ

三平方の定理より，$AF^2=(x_0-\sqrt{a^2-b^2})^2+y_0^2$

ここで，$\dfrac{x_0^2}{a^2}+\dfrac{y_0^2}{b^2}=1$ を用いて $y_0$ を消去すると，

$$\begin{aligned} AF^2 &= x_0^2-2x_0 \sqrt{a^2-b^2}\\ &\quad+a^2-b^2+b^2-\dfrac{b^2x_0^2}{a^2}\\ &= \left( 1-\dfrac{b^2}{a^2} \right) x_0^2\\ &\quad - 2 x_0 \sqrt{a^2-b^2}+a^2\\ &= \left( x_0\dfrac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}-a \right)^2 \end{aligned}$$

（$x_0\leq a$ より）

$$AF=a-x_0\dfrac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}$$

また，$AF+AF'=2a$ より，$AF'=a+x_0\dfrac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}$

・ $BF,BF'$の長さ

楕円の $A$ における法線は，$\dfrac{x_0}{a^2} (y-y_0) - \dfrac{y_0}{b^2} (x-x_0) = 0$ である。

この式で $y=0$ とすることで，$B$ の $x$ 座標が $x_0-x_0\dfrac{b^2}{a^2}$ と分かる。

よって，$BF=\sqrt{a^2-b^2}-x_0 \left( 1-\dfrac{b^2}{a^2} \right)$ となる。

$$BF'=\sqrt{a^2-b^2}+x_0 \left( 1-\dfrac{b^2}{a^2} \right)$$

$AF\times \dfrac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}=BF$，$AF'\times \dfrac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}=BF'$

が分かるので証明すべき比の式が示された。