半角の公式

$\cos$ の倍角の公式 $\cos 2\theta = 1 - 2 \sin^2 \theta$ の $\theta$ を $\dfrac{\theta}{2}$ に置き換えて整理すると $$\sin^2 \dfrac{\theta}{2} = \dfrac{1-\cos \theta}{2}$$ を得る。

$\cos$ の倍角の公式 $\cos 2\theta = 2 \cos^2 \theta - 1$ の $\theta$ を $\dfrac{\theta}{2}$ に置き換えて整理すると $$\cos^2 \dfrac{\theta}{2} = \dfrac{1+\cos \theta}{2}$$ を得る。

$$\tan^2 \dfrac{\theta}{2} = \dfrac{\sin^2 \dfrac{\theta}{2}}{\cos^2 \dfrac{\theta}{2}} = \dfrac{1 - \cos \theta}{1 + \cos \theta}$$

$\cos \theta = \angle \mathrm{CAB}$ とする。

$\mathrm{AD}$ は $\angle \mathrm{CAB}$ を二等分するため， $$\mathrm{AB} : \mathrm{AC} = \mathrm{BD} : \mathrm{DC}$$ である。ゆえに $$\mathrm{BD} = \dfrac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AB} + \mathrm{AC}} \mathrm{BC} = \dfrac{\cos \theta}{1+\cos \theta} \mathrm{BC}$$

よって $$\begin{aligned} \tan \dfrac{\theta}{2} &= \dfrac{\mathrm{BD}}{\mathrm{AB}}\\ &= \dfrac{\cos \theta}{1+\cos \theta} \dfrac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AB}}\\ &= \dfrac{\sin \theta}{1 + \cos \theta} \end{aligned}$$ である。

辺々を2乗して $$\begin{aligned} \tan^2 \dfrac{\theta}{2} &= \dfrac{\sin^2 \theta}{(1+\cos \theta)^2}\\ &= \dfrac{1-\cos^2 \theta}{(1+\cos \theta)^2}\\ &= \dfrac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta} \end{aligned}$$ を得る。