定理
2変数関数 f(u,v) について,u=u(x,y),v=v(x,y) により x,y 変数に置換したとき,2階偏微分は次のようになる。
∂x2∂2f=∂u2∂2f(∂x∂u)2+2∂u∂v∂2f∂x∂u∂x∂v+∂v2∂2f(∂x∂v)2+∂u∂f∂x2∂2u+∂v∂f∂x2∂2v
∂x∂y∂2f=∂u2∂2f∂x∂u∂y∂u+∂u∂v∂2f∂y∂u∂x∂v+∂u∂v∂2f∂x∂u∂y∂v+∂v2∂2f∂x∂v∂y∂v+∂u∂f∂x∂y∂2u+∂v∂f∂x∂y∂2v
∂y2∂2f=∂u2∂2f(∂y∂u)2+2∂u∂v∂2f∂y∂u∂y∂v+∂v2∂2f(∂y∂v)2+∂u∂f∂y2∂2u+∂v∂f∂y2∂2v
なお,f,u,v はどれも C2 級関数としている。