• 解決済み

    @wabisabi_wasabi

    2025/12/28 22:26

    1 回答

    「x2＋2y2＝1x^2＋2y^2＝1のとき、x2＋4yx^2＋4yの最大値・最小値を求めよ」という問題の解法がわかりません。教えていただきたいです！

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    @benzene

    2025/12/29 9:48

    条件

    x2+2y2=1x^2 + 2y^2 = 1

    求める式

    x2+4yx^2 + 4y


    まず、条件式から x2x^2 を消します。

    x2=1−2y2x^2 = 1 - 2y^2

    これを求める式に代入します。

    x2+4y=(1−2y2)+4yx^2 + 4y = (1 - 2y^2) + 4y


    整理すると

    −2y2+4y+1-2y^2 + 4y + 1


    次に平方完成をします。

    −2y2+4y+1-2y^2 + 4y + 1

    =−2(y2−2y)+1= -2(y^2 - 2y) + 1

    =−2(y−1)2+2+1= -2{(y - 1)^2 +2} + 1

    =−2(y−1)2+3= -2(y - 1)^2 + 3


    ここで、(y−1)2≥0(y - 1)^2 \ge 0 なので

    −2(y−1)2≤0-2(y - 1)^2 \le 0


    よって

    −2(y−1)2+3≤3-2(y - 1)^2 + 3 \le 3


    ただし、この最大値 33 は

    y=1y = 1 のときですが、条件式に代入すると

    x2+2(1)2=1x^2 + 2(1)^2 = 1

    ⇒x2=−1\Rightarrow x^2 = -1

    となり不可能です。


    そこで、yy が実際に取りうる範囲を確認します。

    x2+2y2=1x^2 + 2y^2 = 1

    ⇒2y2≤1\Rightarrow 2y^2 \le 1

    ⇒∣y∣≤12\Rightarrow |y| \le \frac{1}{\sqrt{2}}

    端の値を調べます。


    y=12y = \frac{1}{\sqrt{2}} のとき

    x2=1−2(12)2=0x^2 = 1 - 2\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 = 0

    x2+4y=22x^2 + 4y = 2\sqrt{2}


    y=−12y = -\frac{1}{\sqrt{2}} のとき

    x2=0x^2 = 0

    x2+4y=−22x^2 + 4y = -2\sqrt{2}


    結論

    最大値：222\sqrt{2}

    最小値：−22-2\sqrt{2}

    （いずれも x=0x = 0 のとき）

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    とってもわかりやすかったです！助かります😆ありがとうございました👏👏

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