この確率漸化式の問題の解き方をわかりやすく教えてください！

確率漸化式、難しいですよね！💦

でもゆっくり考えればほとんどの問題はクリアできます。

確率漸化式の解き方にはパターンがあるからです！

基本必勝パターン✌️（確実に覚えて使えるようになりましょう）

①$n$ 回目の状態から $n+1$ 回目の状態にどう移るかを考える

・まず $n$ 回目の状態を全て書き出す

・次に $n+1$ 回目の状態を全て書き出す

・$n$ 回目の状態から、$n+1$ 回目の状態にどう移るか？

・それぞれの移動する確率を考えて、式にする

②それぞれの回で、確率を全て合計すると1になる

この①②だけをしっかり覚えて、（１）の問題に取り掛かってみましょう！

（１）

・まず $n$ 回目の状態を全て書き出す

$n$ 回目、これまでの数字の合計は「偶数 or 奇数」の2パターンのみです。

そして、偶数である確率が $p_n$ ですよね。

「確率を全て合計すると1になる」ので、奇数である確率が $1 - p_n$ です。

$n$ 回目

偶数（$p_n$）

奇数（$1 - p_n$）

・次に $n+1$ 回目の状態を全て書き出す

$n+1$ 回目、これまでの数字の合計は「偶数 or 奇数」の2パターンのみですよね。

$n+1$ 回目

偶数（$p_{n+1}$）

奇数（$1 - p_{n+1}$）

・$n$ 回目の状態から、$n+1$ 回目の状態にどう移るか？

今は、$p_n$ と $p_{n+1}$ の関係を知りたいのです。そこで

「$n+1$ 回目に偶数になるのはどんな時か？？？」と考えましょう。

$n+1$ 回目に偶数になるのはどんな時か？？？

パターン１：$n$ 回目に偶数で、次に偶数の玉を取り出す。

パターン２：$n$ 回目に奇数で、次に奇数の玉を取り出す。

この2パターンに限られます！

・それぞれの移動する確率を考えて、式にする

パターン１：

$n$ 回目に偶数（$p_n$）で、次に偶数の玉を取り出す（$\dfrac{2}{5}$）。　

→パターン１からの確率は $\dfrac{2}{5} p_n$ です。

パターン２：

$n$ 回目に奇数（$1 - p_n$）で、次に奇数の玉を取り出す（$\dfrac{3}{5}$）。　

→パターン２からの確率は $\dfrac{3}{5} (1 - p_n)$ です。

なので、$n+1$ 回目に偶数になる確率（$p_{n+1}$）は

$$\begin{aligned}p_{n+1} &= \text{パターン１からの確率} + \text{パターン２からの確率} \\&= \dfrac{2}{5} p_n + \dfrac{3}{5} (1 - p_n) \\&= - \dfrac{1}{5} p_n + \dfrac{3}{5}\end{aligned}$$

これが確率漸化式です！

（答）$p_{n+1} = - \dfrac{1}{5} p_n + \dfrac{3}{5}$