確率漸化式の解き方と例題
確率漸化式(漸化式を利用して確率を求める問題)について,解き方と例題3問を解説します。
確率漸化式の例題
確率漸化式の解き方
確率漸化式の応用問題
確率漸化式の例題
まずは確率漸化式の簡単な例題です。
から がそれぞれ書かれた計 枚のカードがある。「カードを1枚引いて戻す」操作を 回繰り返したとき,引いたカードに書かれている数字の合計が奇数になる確率を求めよ。
求める確率を とおく。
回目の合計が奇数になるのは以下の2パターン。
- 回目までの合計が奇数で, 回目が偶数
このようになる確率は - 回目までの合計が偶数で, 回目が奇数
このようになる確率は
よって,
この漸化式の特性方程式は であり解は
よって,
より,
例題1のように、同じ試行を 回繰り返すような確率の問題では,漸化式を使うことが多いです。
確率漸化式の解き方
例題1で見たように,確率漸化式の問題は以下のような流れで解けることが多いです。
- 求めたい「 回目の確率」を とおく
- と の関係を漸化式で表す
- 漸化式を解く
得点力を上げるコツ
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漸化式を立てる2がポイントです。例題1の解答中に記載したような「遷移図」を描くと漸化式を立てやすいです。
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答えに を代入したり の極限を考えて検算しましょう。例題1では で となり直感と合います。
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確率漸化式の問題が解けなかったときは,上記の1~3のどのステップができなかったのか振り返って,できなかった部分を重点的に復習しましょう。
確率漸化式の応用問題
三項間漸化式が登場するパターン
例題1は二項間漸化式でしたが,三項間漸化式が登場する問題もあります。
コインを投げて「表が出たら階段を 段,裏が出たら階段を 段上がる」という操作を十分な回数行う。何回目かの操作の後にちょうど 段目にいる確率を求めよ。
考え方は同じです。3つの状態を考えて遷移図を描きます。
まず,何回目かの操作の後にちょうど 段目にいる確率を とおく。
が 以上の場合について,以下のように状態を遷移図に表す。
遷移図を元に考えると,
漸化式は以下のように変形できる:
に注意すると,二つの漸化式のそれぞれの一般項は
両辺を引くと, について解くと,
のときもこれを満たすので,
三項間漸化式の解き方については,三項間漸化式の3通りの解き方を参考にしてください。
複数の数列が登場するパターン
例題1,2は数列 のみが登場しましたが,以下の例題3は複数の数列が登場します。
サイコロを 回振り, か が出たときには を, か が出たときには を, か が出たときには を足す。 回サイコロを降ったときの和を とするとき, が の倍数である確率を とする。 を求めよ。
ポイントは,対称性を使って考える数列の数をできるだけ減らすことです。
回目に の倍数である確率は と設定されている。
また, で割った余りが である場合と である場合は対称性より,どちらも確率を とおける。
このとき,以下の遷移図が書ける。
確率の総和は なので, となる。つまり,
また,遷移図を元に考えると,
となる。この2つから を消去すると,
つまり,
と合わせて,
今回は答えが によらない定数になりました(漸化式を解く部分は楽な問題でした)。なお,直感的に答えが になるのは明らかですね。
確率漸化式の応用問題
少し難しめの応用問題として,破産の確率と漸化式について扱った記事もあります。 確率漸化式の難問を解いてみたい人はこちらから →破産の確率と漸化式
遷移図を書いている時ってなんだか楽しいですよね。