確率空間の定義と具体例（サイコロ，コイン）

確率空間とは $(\Omega,\mathscr{F},P)$ の三つ組のことを言います。

ただし，

これだけだとよく分からないと思うので，以下で一つずつ解説していきます。

とりあえず「測度論的確率論では，確率を議論するときには確率空間というものの上で考える。そして，確率空間は3つの物のセットのことを表す」と覚えて下さい。

まずは標本空間 $\Omega$ についてです。確率を考える土台となる集合です。

本当は $\Omega$ の各要素を「$1$ の目」「$2$ の目」などと書くべきですが「の目」は省略しています。

• $\Omega$ のことを標本空間と言います。
• $\Omega$ の各要素は根元事象と呼ばれます。 根元事象を $\omega$ と書くことが多いです。

3つの中でこれが一番難しいです。$\mathscr{F}$ は標本空間 $\Omega$ の部分集合の中で確率が測れる集合を集めたものという意味を持ちます。

$\sigma$ -加法族についての説明は後回しにして，とりあえず具体例です。

例1，2のように $\Omega$ が有限集合のときは $\Omega$ の全ての部分集合の確率が測れるとしても問題がありません。

しかし，$\Omega$ が無限集合（しかも非可算）のときには全ての集合の確率が測れるとは限りません。イメージはわきませんが，とりあえずやばい部分集合を考えると確率がうまく定義できないことを意識しておきましょう。

実数の部分集合でヤバくないものを集めたものをボレル集合と言います（厳密には，任意の開集合を含む最小の $\sigma$ -加法族のことを言う）。

• $\mathscr{F}$ の各要素を事象と言います。
• $\mathscr{F}$ は「確率が測れる集合を集めたもの」なので以下の3つを満たすことが要請されます：

これらを満たす集合族を $\sigma$ -加法族（完全加法族）と言います。それぞれの意味は，

1. 空集合の確率は測れるべき

2. $A$ の確率が測れるなら $A$ でない確率も測れるべき

3. 任意の $i=1,2,\dots$ に対して $A_i$ の確率が測れるなら，$A_i$ の少なくとも一つが起きる確率も測れるべき（$\cup_{i=1}^{\infty}A_i$ は可算個の和集合です）

そして，$\Omega$ と $\mathscr{F}$ の組（集合と $\sigma$ -加法族の組）を可測空間と言います。

確率を考える対象（可測空間）が定まったのでいよいよ確率が定義できます。

確率測度とは「$\mathscr{F}$ の元（測れる集合，事象）を入れたら $0$ 以上 $1$ 以下の値を返してくれる関数」（で以下の1，2を満たすもの）のことです。

「確率」なので，以下の二つを満たすことが要請されます。

意味は，

1. 全事象の確率は $1$

2. 互いに排反なら「どれか一つでも起きる確率」は各々の確率の和