ケンドールの順位相関係数

ケンドールの順位相関係数（Kendall’s tau，ケンドールのタウ）とは，$n$ 個のペアのデータ： $(x_1,y_1),\dots,(x_n,y_n)$ から計算される，$X$ と $Y$ の関係を表す指標の1つです。

$(x_i,y_i)$ と $(x_j,y_j)$ という2個のペアのデータについて，

• $(x_i-x_j)(y_i-y_j) > 0$ のとき「順方向」
• $(x_i-x_j)(y_i-y_j) < 0$ のとき「逆方向」

と呼ぶことにします。

このとき 「順方向のペア数ー逆方向のペア数」を ${}_n\mathrm{C}_2$ で割った値をケンドールの順位相関係数と言います。

（2個のペアの選び方は全部で ${}_n\mathrm{C}_2$ 通りあります。つまり，全部のペアの中での順方向ペア数の割合を計算しています）

計算例

注： $x_i=x_j$ または $y_i=y_j$ となる異なる $i,j$ が存在する場合はもう少し複雑な処理が必要になります。今回は $x_1,\dots,x_n$ は全て異なり，$y_1,\dots,y_n$ も全て異なる場合を考えます。

• 「$X$ が大きいほど $Y$ が大きい傾向にある」とき順方向のペア数は多くなります。逆に「$X$ が大きいほど $Y$ が小さい傾向にある」とき逆方向のペア数は多くなります。よって，ケンドールの順位相関係数が大きいほど「$X$ が大きいほど $Y$ が大きい傾向にある」と言えます。

• $x$ と $y$ の順番が完全に一致しているとき，全てのペアが順方向になるので $\tau=1$ になります。また，$x$ と $y$ の順番が完全に逆転しているとき，$\tau=-1$ になります。

• 常に$-1\leqq \tau \leqq 1$ です。

• 確率分布 $P(X,Y)$ から $n$ 個のサンプル $(x_1,y_1),\dots,(x_n,y_n)$ を生成したとき，$X$ と $Y$ が独立なら $\tau$ の期待値は $0$ になります。

いろいろな相関係数

• 順位相関係数は，一般的な相関係数（ピアソンの相関係数）と違って，データの値を直接使うのではなく大小関係のみを考慮します。
• 順位相関係数は順位のみを見るので，外れ値に強いです。
• 順位相関係数の中でも，ケンドールの順位相関係数はこの記事で紹介しました。もう1つスピアマンの順位相関係数もあります。スピアマンの順位相関係数は，「データを順位に変換してからピアソンの相関係数を計算」したものです。

独立性の検定

確率分布 $P(X,Y)$ から $n$ 個のサンプル $(x_1,y_1),\dots,(x_n,y_n)$ を生成した状況を考えます。このとき，ケンドールの順位相関係数を使って $X$ と $Y$ が独立かどうか検定することができます。

$X$ と $Y$ が独立で $n$ が十分大きい（$n > 10$）とき，$\tau$ は平均 $0$，分散 $\dfrac{2(2n+5)}{9n(n-1)}$ の正規分布に近似的に従うことが知られています（※）。

よって，帰無仮説：$X$ と $Y$ は独立

として統計量 $\dfrac{\tau}{\sqrt{\frac{2(2n+5)}{9n(n-1)}}}$ と標準正規分布のパーセント点を比較すれば検定できます。

確率分布 $P(X,Y)$ に関する仮定を必要としない一般的な方法（ノンパラメトリックな手法）です。

参考文献：The Kendall Rank Correlation Coefficient