破産の確率と漸化式

$N$ を固定して $n$ を変数だと考える。破産の確率は $n$ の関数である。その確率を $a_n$ とおく。

破産の確率を一回目に勝つ場合と負ける場合に分けて考えることにより，以下の漸化式を得る：

$a_{n}=pa_{n+1}+qa_{n-1}\:(1\leq n\leq N-1)$

（一回目に勝てばその後確率 $a_{n+1}$ で破産，一回目に負ければその後確率 $a_{n-1}$ で破産）

ただし，端っこ（$n=1,\:N-1$）でも漸化式が成立するように $a_0=1,\:a_N=0$ とする。

特性方程式は $x=px^2+(1-p)$ であり，この解は $x=1$ と $\dfrac{q}{p}(=\alpha)$ である。$\alpha=1$ のときは重解となるので場合分けが必要。

・ $p\neq q,\:(\alpha\neq 1)$ のとき，

漸化式の解は $a_n=A\alpha^n+B$ と書ける。

$a_0=1,\:a_N=0$ を満たすように $A,\:B$ を決めると，$A=\dfrac{1}{1-\alpha^N},\:B=\dfrac{-\alpha^N}{1-\alpha^N}$ となる：

$a_n=\dfrac{\alpha^n-\alpha^N}{1-\alpha^N}$

・ $p=q,\:(\alpha =1)$ のとき，

漸化式の解は $a_n=An+B$ と書ける。

$a_0=1,\:a_N=0$ を満たすように $A,\:B$ を決めると，$B=1,\:A=-\dfrac{1}{N}$ となる：

$a_n=1-\dfrac{n}{N}$