解説お願いします。

以下 $|\sin(nx)|, \sin x$ は $(0,\pi/2]$ 上の関数とします．

$|\sin(nx)| = 0$ となる最小の正の点は $x = \pi/n$．よって同関数の周期性から $|\sin(nx)| = 0$ となる $x$ の個数は，$[\cdot]$ をガウス記号として，

$$A = \left[\frac{\pi}{2} \middle/ \frac{\pi}{n} \right] = \left[\frac{n}{2}\right]．$$

$|\sin(nx)| = 1$ となる $x$ の個数を $B$ とすると

$$B = \begin{cases} A & (n\ が偶数) \\ A + 1 & (n\ が奇数) \end{cases}．$$

$|\sin(nx)|$ が $0$ または $1$ となる点を小さい順に $x_1,x_2,\cdots,x_{A + B}$ とすると，任意の区間 $(x_i,x_{i + 1}]$ 上に $1$ つ，そして $1$ つのみ，$y = \sin x$ と $y = |\sin(nx)|$ との交点が存在するので，

$$N = A + B - 1 = \begin{cases} 2A - 1 & (n\ が偶数) \\ 2A & (n\ が奇数) \end{cases}．$$

以上から，

$$2\left[\frac{n}{2}\right] - 1 \leqq N \leqq 2\left[\frac{n}{2}\right]．$$

$X - 1 < [X] \leqq X$ より，

$$n - 3 < N \leqq n；\quad 1 - \frac{3}{n} < \frac{N}{n} \leqq 1．$$

はさみうちの原理から $N/n \to 1$ を得ます．