テント写像とその性質〜東大入試の背景〜

今回考える関数は，$[0,1]$ 上で定義された以下のような関数です。

$f(x)=\left\{\begin{array}{ll} 2x&(0<x\leq\frac{1}{2})\\ 2(1-x)&(\frac{1}{2}<x\leq1) \end{array}\right.$

グラフは図のようになります。この形がテントっぽいのでテント写像と言います。

次に $y=ff(x)$ のグラフについて考えてみます。

$0\leq x\leq \dfrac{1}{2}$ の範囲で $f(x)$ の値は $x$ の値に比例して $0$ から $1$ まで増加します。よって，$ff(x)$ の値は $0\leq x\leq \dfrac{1}{4}$ まで増加してそこから減少します。

$\dfrac{1}{2}\leq x\leq 1$ についても同様に考えることで $y=ff(x)$ のグラフは図のようになることが分かります。

同様に，$y=fff(x)$ のグラフはテントが $4$ つあるようなグラフになります。

さらに一般に，$f(x)$ を $n$ 個合成した関数 $y=f^n(x)$ はテントが $2^{n-1}$ 個あるようなグラフになります。

さきほど見たように $y=f^n(x)$ は激しく（$n$ に関して指数的に）ギザギザしています。

そのため，$f^n(x)$ の値は $x$ を少し変えただけでも大きく変わってしまいます。このような性質を初期値鋭敏性と言います。

初期値鋭敏性はカオス力学系と呼ばれるものの一つの性質（定義）です。「カオス」という数学の分野があるくらい深い話題です。

関数 $y=f(x)$ を何回か作用させると元に戻ってくる点を周期点と言います。

周期点の集合は， 全ての正の整数 $n$ に対して，$x=f^n(x)$ の解（固定点，不動点）を集めたものです。

そこで $x=f^n(x)$ について考えてみます。これは $y=f^n(x)$ と $y=x$ の交点に対応するので，さきほど書いたグラフより全部で $2^n$ 個あることが分かります。

よって，周期点は無限個あることも分かります。

• 2002年東大後期第3問はテント写像を題材とした問題でした。
  (5)まであり，(1)から(3)までは $y=f^n(x)$ のグラフが書ければ解けたも同然の問題。(4)，(5)はやや難しいですが，テント写像の話題を知っていればかなり有利です（マニアックなテーマなのでほとんどの受験生が知らなかったと思いますが）。

• $y=f(x)$ のグラフから合成関数 $y=f^n(x)$ のグラフをイメージするのは重要な考え方です。2004年東大文系第3問，理系第4問はこの考え方を知っていれば一瞬で解ける問題でした。

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