攻略！行列式計算～その1：基本練習問題8パターン

更新 2023/12/18

定義

$\begin{aligned} \det A &= \sum_{\sigma\in S_n}\mathrm{sgn} (\sigma) \prod_{i=1}^na_{i\sigma(i)}\\ &= \sum_{\sigma\in S_n} \mathrm{sgn} (\sigma) \ a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}\cdots a_{n\sigma(n)} \end{aligned}$

性質

単位行列 $I$ に関して $\det I=1$
$i$ 列と $j$ 列を交換すると行列式は $-1$ 倍される（交代性）
一つの列以外固定して一つの列の関数と見たときに線形性が成立する（多重線形性）

この記事では行列式の練習問題とその解法を紹介します。

問題

例題

次の行列式を計算せよ。

$\begin{array}{clcl} (1)& \begin{vmatrix} 1 & 3 & 2\\ 0 & 2 & -1\\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} & (2) & \begin{vmatrix} 1 & 0 & 2 &1\\ 0 & 0 & -1 &2\\ 0 & 0 & 1 &0\\ 3 & 0 & 1 & 2 \end{vmatrix}\\ (3) & \begin{vmatrix} 1&2&1\\ 2&1&1\\ -1&1&2 \end{vmatrix}& (4) & \begin{vmatrix} 2&1&0&1\\ 0&2&1&0\\ 1&3&-1&1\\ 2&1&1&3 \end{vmatrix}\\ (5)& \begin{vmatrix} 1&2&3&4\\ 1&3&2&1\\ 1&2&4&3\\ 1&4&3&2 \end{vmatrix}& (6)& \begin{vmatrix} 1&2&3&4\\ 5&6&7&8\\ 9&10&11&12\\ 13&14&15&16 \end{vmatrix}\\ (7) & \begin{vmatrix} 3 &-8&0\\ 12&24&1\\ 15&16&2 \end{vmatrix}& (8)& \begin{vmatrix} 2&1&1&1\\ 1&3&1&1\\ 1&1&4&1\\ 1&1&1&5 \end{vmatrix} \end{array}$

解答

見た目で分かる行列式

例題1：上三角（下三角）行列の行列式

上三角（下三角）行列の行列式は対角成分の積になります。

解答

$\begin{vmatrix} 1 & 3 & 2\\ 0 & 2 & -1\\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 \times 2 \times 1 = 2$

例題2： $0$ が含まれる行列式

$0$ の列（行）が含まれる行列式は $0$ です。

解答

2列目が $0$ ベクトルであるため，答えは $0$ である。

定義に従って確認してみる。 $\begin{aligned} &\left|\begin{matrix} 1 & 0 & 2 &1\\ 0 & 0 & -1 &2\\ 0 & 0 & 1 &0\\ 3 & 0 & 1 & 2 \end{matrix}\right|\\ &= \sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_4} \mathrm{sgn}\ (\sigma) \ a_{1 \sigma(1)} a_{2 \sigma(2)} a_{3 \sigma(3)} a_{4 \sigma(4)}\\ &= \sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_4} \mathrm{sgn}\ (\sigma) \ a_{1 \sigma(1)} \times 0 \times a_{3 \sigma(3)} a_{4 \sigma(4)}\\ &= 0 \end{aligned}$

$3 \times 3$ 行列の計算

例題3：たすきがけで計算

$\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} &a_{13}\\ a_{21} & a_{22} &a_{23}\\ a_{31} & a_{32} &a_{33}\\ \end{pmatrix}$ の行列式は， $a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}\\ -a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{13}a_{22}a_{31}$ で与えられたのでした。

解答

$\begin{aligned} &\begin{vmatrix} 1&2&1\\ 2&1&1\\ -1&1&2 \end{vmatrix}\\ &= 1 \times 1 \times 2 + 2 \times 1 \times (-1) + 1 \times 2 \times 1\\ &\quad - 1 \times 1 \times 1 - 2 \times 2 \times 2 - 1 \times 1 \times (-1)\\ &= -6 \end{aligned}$

余因子展開で計算

行列式の計算においてもっとも重要でミスが多い方法は余因子展開による計算方法です。

例題4：余因子展開

解答

2行目に一番 $0$ が多いため，2行目に関する余因子を計算する。

$\begin{aligned} &\begin{vmatrix} 2&1&0&1\\ 0&2&1&0\\ 1&3&-1&1\\ 2&1&1&3 \end{vmatrix}\\ &= 2 \cdot \begin{vmatrix} 2&0&1\\ 1&-1&1\\ 2&1&3 \end{vmatrix} + (-1) \cdot 1 \begin{vmatrix} 2&1&1\\ 1&3&1\\ 2&1&3 \end{vmatrix}\\ &= 2 (-6+1+2-2)\\ &\quad -1 (18 +2+1-2-6-3)\\ &= -10-10\\ &= -20 \end{aligned}$

基本変形で計算

例題5：行列基本変形の活用

解答

$\begin{aligned} \begin{vmatrix} 1&2&3&4\\ 1&3&2&1\\ 1&2&4&3\\ 1&4&3&2 \end{vmatrix} &= \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & 4\\ 0&1&-1&3\\ 0&0&1&-1\\ 0&2&0&-2 \end{vmatrix}\\ &= \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & 4\\ 0&1&0&2\\ 0&0&1&-1\\ 0&2&0&-2 \end{vmatrix}\\ &= \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & 4\\ 0&1&0&2\\ 0&0&1&-1\\ 0&0&0&-6 \end{vmatrix}\\ &= 1 \times 1 \times 1 \times (-6)\\ &= -6 \end{aligned}$

例題6：線型従属なベクトルと行列式

線型従属な行列式の中にベクトルがあったら，基本変形を使うことで例題2のパターンに帰着できます。

解答

1行目の5倍を2行目から引き，1行列目の9倍を3行目から引く。 $\begin{aligned} &\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & 4\\ 5 & 6 & 7 & 8\\ 9 & 10 & 11 & 12\\ 13 & 14 & 15 & 16 \end{vmatrix}\\ &= \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & 4\\ 0 & -4 & -8 & -12\\ 0 & -8 & -16 & -24\\ 13 & 14 & 15 & 16 \end{vmatrix}\\ \end{aligned}$

右辺の2行目と3行目は線型独立であるため，この行列式は $0$ になる。

その他の性質で計算

例題7：定数を括り出す

成分が大きい行列式は，倍数で括り出すことで計算を簡単にできます。

解答

$\begin{aligned} \begin{vmatrix} 3 &-8&0\\ 12&24&1\\ 15&16&2 \end{vmatrix} &= 3 \cdot (-8) \begin{vmatrix} 1 &-1&0\\ 4&3&1\\ 5&2&2 \end{vmatrix}\\ &= -24(6-5+8-2)\\ &= -168 \end{aligned}$

例題8：多重線型性

解答

$\begin{aligned} &\begin{vmatrix} 2&1&1&1\\ 1&3&1&1\\ 1&1&4&1\\ 1&1&1&5 \end{vmatrix}\\ &= \begin{vmatrix} 1+1&1+0&1+0&1+0\\ 1+0&1+2&1+0&1+0\\ 1+0&1+0&1+3&1+0\\ 1+0&1+0&1+0&1+4 \end{vmatrix}\\ &= \begin{vmatrix} 1&0&0&0\\ 0&2&0&0\\ 0&0&3&0\\ 0&0&0&4 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 1&0&0&0\\ 1&2&0&0\\ 1&0&3&0\\ 1&0&0&4 \end{vmatrix}\\ &\quad + \begin{vmatrix} 1&1&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&1&3&0\\ 0&1&0&4 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 1&0&1&0\\ 0&2&1&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&1&4 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 1&0&0&1\\ 0&2&0&1\\ 0&0&3&1\\ 0&0&0&1 \end{vmatrix}\\ &= 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 + 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4\\ &\quad + 1 \cdot 1 \cdot 3 \cdot 4 + 1 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 4 + 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 1\\ &= 74 \end{aligned}$

なお， $\begin{vmatrix} 1&1&0&0\\ 1&1&0&0 \\ 1&1&3&0\\ 1&1&0&4 \end{vmatrix}$ などは $0$ になるため，書いていない。

計算ミスをしないように沢山練習しましょう。

攻略！ 行列式計算～その1：基本練習問題8パターン

問題

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