攻略！ 行列式計算～その3：固有値を活用した計算

$$A = \begin{pmatrix} -a & -b & -c\\ -a & -b & -c\\ -a & -b & -c \end{pmatrix}$$ とおく。

$$|xI-A| = \begin{vmatrix} x+a & b & c\\ a & x+b & c\\ a & b & x+c \end{vmatrix}$$ であるため，求める行列式は $A$ の固有方程式になる。

つまり $A$ の固有値を $\alpha, \beta , \gamma$（重複込み）とすると，求める行列式は $(x-\alpha) (x-\beta) (x-\gamma)$ となる。（$x^3$ の符号が正であることに注意）

固有値の計算

$A$ の行基本変形をすると $$\begin{pmatrix} -a & -b & -c\\ 0&0&0\\ 0&0&0 \end{pmatrix}$$ であることから，$\mathrm{rank} \ A = 1$ と分かる。ランクの性質から，固有値は $0,0,x \ (x \neq 0)$ であることを得る。

計算すると $\begin{pmatrix} 1\\ 1 \\ 1\end{pmatrix}$ は固有値 $-a-b-c$ の固有ベクトルと分かる。

こうして固有値は $0,0,-(a+b+c)$ であり，求める行列式は $x^2(x+a+b+c)$ であることが分かった。

$$\begin{aligned} (2) \qquad &\begin{vmatrix} x & -1 & 0 & 0\\ 0 & x & -1 & 0\\ 0 & 0 & x & -1\\ a_4 & a_3 & a_2 & a_1 \end{vmatrix}\\ =& x^4 + a_1 x^3 + a_2 x^2 + a_3 x + a_4 \end{aligned}$$

$$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 &0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ -a_4 & -a_3 & -a_2 & -a_1 \end{pmatrix}$$ とおく。

$$|xI - A| = \begin{vmatrix} x & -1 & 0 & 0\\ 0 & x & -1 & 0\\ 0 & 0 & x & -1\\ a_4 & a_3 & a_2 & a_1 \end{vmatrix}$$ であるため，求める行列式は $A$ の固有多項式になる。

$$x^4 + a_1 x^3 + a_2 x^2 + a_3 x + a_4 = 0$$ の解を $\lambda_1 , \lambda_2 , \lambda_3 , \lambda_4$ とおく。

方程式に $\lambda_i$ を代入することで $$\lambda_i^4 = - a_1 \lambda_i^3 - a_2 \lambda_i^2 - a_3 \lambda_i - a_4$$ に注意すると， $$A \begin{pmatrix} 1 \\ \lambda_i \\ \lambda_i^2 \\ \lambda_i^3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \lambda_i\\ \lambda_i^2 \\ \lambda_i^3 \\ \lambda_i^4 \end{pmatrix} = \lambda_i \begin{pmatrix} 1 \\ \lambda_i \\ \lambda_i^2 \\ \lambda_i^3 \end{pmatrix}$$ であることが分かる。

よって $A$ の固有値は $\lambda_i$ であるため，固有多項式は $$\begin{aligned} &(x-\lambda_1)(x-\lambda_2)(x-\lambda_3)(x-\lambda_4)\\ &= x^4 + a_1 x^3 + a_2 x^2 + a_3 x + a_4 \end{aligned}$$ となる。