巡回行列の固有値・固有ベクトルと行列式

更新 2021/09/20

巡回行列

$\begin{pmatrix}x&y&z\\z&x&y\\y&z&x\end{pmatrix}$ のように，「左上～右下方向」に同じ値が並んだ行列を巡回行列（循環行列，Circulant matrix）という。

※より正確に述べると， $ij$ 成分の値が「 $(i-j)$ を $n$ で割った余り」のみで決まる $n\times n$ 行列のことです。

巡回行列の行列式

巡回行列の行列式は，因数分解できておもしろいです。

定理1

巡回行列 $C$ の行列式は， $C$ の1行目を $(c_0,c_1,\dots,c_{n-1})$ とすると，

$\det C=\displaystyle\prod_{k=0}^{n-1}\left(\sum_{l=0}^{n-1}\zeta_k^lc_l\right)$

ただし，この記事で $\zeta_k$ は $e^{\frac{2\pi ki}{n}}$ ，つまり $1$ の $n$ 乗根を表します。→1のn乗根の性質と複素数平面

難しそうな式ですが， $n=3$ の場合で書いてみるとわかりやすいです。

定理の左辺は， $\det\begin{pmatrix}c_0&c_1&c_2\\c_2&c_0&c_1\\c_1&c_2&c_0\end{pmatrix}$ です。行列式の定義にもとづいて計算すると， $c_0^3+c_1^3+c_2^3-3c_0c_1c_2$ となります。
定理の右辺は， $1$ の $3$ 乗根を $\omega$ とおくと，
$(c_0+c_1+c_2)(c_0+\omega c_1+\omega^2c_2)(c_0+\omega^2c_1+\omega c_2)$
となります。

つまり，この式は，高校数学で登場する因数分解公式
$a^3+b^3+c^3-3abc\\=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$
の右辺第2項をさらに複素数の範囲で分解したものです！→因数分解公式一覧

定理1の証明

行列式が固有値の積であること： $\det C=\displaystyle\prod_{k=0}^{n-1}\lambda_k$
固有値が $\lambda_k=\displaystyle\sum_{l=0}^{n-1}\zeta_k^lc_l\:(k=0,1,\dots,n-1)$ であること（→後述の定理2）

からわかる。

巡回行列の固有値・固有ベクトル

定理2

巡回行列 $C$ について， $C$ の1行目を $(c_0,c_1,\dots,c_{n-1})$ とする。

固有ベクトルは， $\overrightarrow{x_k}=(1,\zeta_k,\zeta_k^2,\dots,\zeta_k^{n-1})$
$\overrightarrow{x_k}$ に対応する固有値は $\lambda_k=\displaystyle\sum_{l=0}^{n-1}\zeta_k^lc_l$

（ただし， $k=0,1,\dots,n-1$ ）

証明の概要

$C\overrightarrow{x_k}=\lambda_k\overrightarrow{x_k}$ が簡単な計算で確認できる。例えば $n=3$ のときには以下の式を確認することになる。

$k=0$ ：
$\begin{pmatrix}c_0&c_1&c_2\\c_2&c_0&c_1\\c_1&c_2&c_0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}=(c_0+c_1+c_2)\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$
$k=1$ ：
$\begin{pmatrix}c_0&c_1&c_2\\c_2&c_0&c_1\\c_1&c_2&c_0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\\omega\\\omega^2\end{pmatrix}=(c_0+\omega c_1+\omega^2c_2)\begin{pmatrix}1\\\omega\\\omega^2\end{pmatrix}$
$k=2$ ：
$\begin{pmatrix}c_0&c_1&c_2\\c_2&c_0&c_1\\c_1&c_2&c_0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\\omega^2\\\omega\end{pmatrix}=(c_0+\omega^2 c_1+\omega c_2)\begin{pmatrix}1\\\omega^2\\\omega\end{pmatrix}$

さらに， $k_1\neq k_2$ なら $\overrightarrow{x_{k_1}}$ と $\overrightarrow{x_{k_2}}$ が直交することも確認できる。

巡回行列と離散フーリエ変換

定理2の応用です。この節は少し難しいです。

巡回行列の固有ベクトルを求めましたが，これらを並べた行列は，離散フーリエ変換を表す行列 $F$ と一致します。
例えば， $n=3$ の場合，3次元ベクトル $\overrightarrow{a}$ の離散フーリエ変換は $F\overrightarrow{a}=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&\omega&\omega^2\\1&\omega^2&\omega^4 \end{pmatrix}\overrightarrow{a}$ と表せます。
つまり，巡回行列は「離散フーリエ変換を表す行列で対角化できる」と言えます： $F^{-1}CF=D$ （ただし $D$ が固有値を並べた対角行列）
さらに，この式から $F(\overrightarrow{c}*\overrightarrow{x})=F(\overrightarrow{c})\circ F(\overrightarrow{x})$ という重要な式を導出できます。ただし， $\overrightarrow{c}*\overrightarrow{x}$ は $n$ 次元ベクトルの巡回畳み込み（畳み込みの巡回バージョン）で， $\circ$ はベクトルの要素ごとの積を表します。

証明の概要

1行目が $c^{\top}$ である巡回行列を $C$ とおくと，巡回畳み込みの定義より $\overrightarrow{c}*\overrightarrow{x}=C^{\top}\overrightarrow{x}$

よって，

$F(\overrightarrow{c}*\overrightarrow{x})\\ =FC^{\top}\overrightarrow{x}\\ =FC^{\top}F^{-1}F\overrightarrow{x}\\ =(F^{-1}CF)^{\top}F\overrightarrow{x}\\ =DF\overrightarrow{x}\\ =F(\overrightarrow{c})\circ F(\overrightarrow{x})$

高校数学で習う因数分解公式が出てくるのがおもしろいです。

この記事の監修者

マスオ

高校数学の美しい物語の管理人。「わかりやすいこと」と「ごまかさないこと」の両立を意識している。著書に『高校数学の美しい物語』『超ディープな算数の教科書』。記事の誤植やわかりにくい等のご指摘はお気軽にメールください！