ブロック行列の行列式，逆行列の公式と証明

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 0 & -1 & 1\\ -2 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ は $\left( \begin{array}{cc|c} 1 & 2 & 3\\ 0 & -1 & 1\\ \hline -2 & 0 & 0 \end{array} \right)$ とブロック行列で表すことができます。

ブロックの分け方は1通りではありません。さきほどの行列を $\left( \begin{array}{c|cc} 1 & 2 & 3\\ \hline 0 & -1 & 1\\ -2 & 0 & 0 \end{array} \right)$ と分割することもできます。

$T,S$ をそれぞれ $n \times n$ ブロックに分けます。

$i$ 行 $j$ 列のブロックを $T_{ij}, S_{ij}$ と表します。このとき $$(TS)_{ij} = \sum_{k=1}^n T_{ik} S_{kj}$$ と計算できます。

$T$ の行列式を，$A,B,C,D$ を用いて表す公式です！

〜公式の覚え方〜

2×2行列の行列式が $ad-bc=a(d-\dfrac{bc}{a})$ と書けることを意識すると覚えやすいです。

$D-CA^{-1}B$ なのか $D-BA^{-1}C$ なのか迷いがちですが，行列のサイズを意識すると前者が正しいと分かります。また「時計回り」と覚えてもよいです（$C,A,B$ が時計回りの順になっている）。

〜公式が活躍する例〜

例えば行列の性質を数学的帰納法で証明するときに活躍します（$B$ が縦ベクトル，$C$ が横ベクトルのとき，$T$ のサイズは $A$ のサイズより1大きいです，また $D-CA^{-1}B$ はスカラーとなり扱いやすいです）。

二つ目の式も同様なので，一つ目の式のみ示します。証明だけなら簡単です。

〜余談（なぜこのような変形が思いつくのか）〜

まず，$\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}$ の $A$ を使って $B$ を消します（列変形のノリ）：

$\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}\begin{pmatrix}I&-A^{-1}B\\O&I\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}A&O\\C&D-CA^{-1}B\end{pmatrix}$

次に，$A$ を使って $C$ を消します（行変形のノリ）

$\begin{pmatrix}I&O\\-CA^{-1}&I\end{pmatrix}\begin{pmatrix}A&O\\C&D-CA^{-1}B\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}A&O\\O&D-CA^{-1}B\end{pmatrix}$

この二つを合わせた式に，左から $\begin{pmatrix}I&O\\-CA^{-1}&I\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}I&O\\CA^{-1}&I\end{pmatrix}$

右から $\begin{pmatrix}I&-A^{-1}B\\O&I\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}I&A^{-1}B\\O&I\end{pmatrix}$

をかけると目標の式を得ます。

$T$ の逆行列を，$A,B,C,D$ を用いて表す公式です！

なお，さらに $D$ が正則なら逆行列の補助定理を使うことで左上部分は $(A-BD^{-1}C)^{-1}$ と簡潔に書くことができます。

行列式のときに得た式を使えばあとは計算するのみです。