n次元超球の体積の求め方と考察

$n$ 次元単位超球を $x_n=t$ で切るとその断面は，$x_1^2+x_2^2+\cdots +x_{n-1}^2\leq 1-t^2$ で表される $n-1$ 次元の超球となる（半径は $\sqrt{1-t^2}$）。

よって，$n$ 次元単位超球のうちで $x_n=t$ から $x_n=t+\Delta t$ の間にある部分の体積は，$\Delta t$ が十分小さいとき $V_{n-1}(\sqrt{1-t^2})^{n-1}\Delta t$ とみなせる。

$\Delta t\to 0$ の極限を考えて積分すると，

$V_n=\displaystyle\int_{-1}^1V_{n-1}(\sqrt{1-t^2})^{n-1}dt\\ =2V_{n-1}\displaystyle\int_0^1(\sqrt{1-t^2})^{n-1}dt$

$t=\sin\theta$ と置換すると，

$V_n=2V_{n-1}\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^{n-1}\theta \cos\theta d\theta$

この右辺の定積分はウォリス積分を用いて計算できる：

・ $n$ が奇数のとき

$V_n=2V_{n-1}\dfrac{(n-1)\cdot (n-3)\cdot (n-5)\cdots 2}{n\cdot(n-2)\cdot (n-4)\cdots 3}$

・ $n$ が偶数のとき

$V_n=\pi V_{n-1}\dfrac{(n-1)\cdot (n-3)\cdot (n-5)\cdots 3}{n\cdot(n-2)\cdot (n-4)\cdots 2}$

ここで，二つ目の式に $n=2k$ を代入した式と，一つ目の式に $n=2k-1$ を代入した式を使うとたくさん約分される：

$V_{2k}=2\pi V_{2k-2}\cdot\dfrac{1}{2k}=\dfrac{\pi V_{2k-2}}{k}$

この漸化式を繰り返し使うことで，まず偶数の場合が求まる： $V_{2k}=\dfrac{\pi^{k-1}}{k!}V_2=\dfrac{\pi^k}{k!}$

この結果と漸化式より奇数の場合も計算できる。ガンマ関数を使うことで奇数の場合と偶数の場合いずれも以下の式で表現できる：

$V_n=\dfrac{\pi^{\frac{n}{2}}}{\Gamma(\frac{n}{2}+1)}$