重積分の計算方法と例題3問

$r^4\sin\theta$ という関数を $\{(r,\theta)\mid 0\leq r\leq R,0\leq \theta\leq \pi\}$ という領域で積分せよという問題。 $r$ の積分と $\theta$ の積分に分解できる：

$I=\displaystyle\int_0^{\pi}\sin\theta d\theta\int_0^{R}r^4dr\\ =(-\cos \pi+\cos 0)\cdot\dfrac{R^5}{5}\\ =\dfrac{2}{5}R^5$

（$x$ で積分してから $y$ で積分する）

積分範囲は $1-y\leq x\leq 1$ ，$0\leq y\leq 1$ と書けるので，

$I=\displaystyle\int_{0}^1\left(\int_{1-y}^1xy^2dx\right)dy\\ =\displaystyle\int_0^1\left[\dfrac{x^2y^2}{2}\right]_{1-y}^1dy\\ =\displaystyle\int_0^1\left(y^3-\dfrac{y^4}{2}\right)dy\\ =\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{10}\\ =\dfrac{3}{20}$

（$y$ で積分してから $x$ で積分する）

積分範囲は $1-x\leq y\leq 1$ ，$0\leq x\leq 1$ と書けるので，

$I=\displaystyle\int_{0}^1\left(\int_{1-x}^1xy^2dy\right)dx\\ =\displaystyle\int_0^1\left[\dfrac{xy^3}{3}\right]_{1-x}^1dx\\ =\displaystyle\int_0^1\left(x^2-x^3+\dfrac{x^4}{3}\right)dx\\ =\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{15}\\ =\dfrac{3}{20}$

（$y$で積分してから$x$で積分する）

積分範囲は $x^2\leq y\leq x$ ，$0\leq x\leq 1$ と書けるので，

$I=\displaystyle\int_{0}^1\left(\int_{x^2}^x -\dfrac{1}{(2x+y+1)^2}dy\right)dx\\ =\displaystyle\int_0^1\left[\dfrac{1}{2x+y+1}\right]_{x^2}^xdx\\ =\displaystyle\int_0^1\left(\dfrac{1}{3x+1}-\dfrac{1}{(x+1)^2}\right)dx\\ =\left[\dfrac{1}{3}\log (3x+1)+\dfrac{1}{x+1}\right]_0^1\\ =\dfrac{1}{3}\log 4-\dfrac{1}{2}$