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レビチビタ記号とその性質

更新日時 2021/03/07

i,j,ki,j,k はそれぞれ 1,2,31,2,3 のいずれかとする。このとき,

εijk={1(i,j,k)=(1,2,3),(2,3,1),(3,1,2)1(i,j,k)=(1,3,2),(2,1,3),(3,2,1)0otherwise\varepsilon_{ijk}=\begin{cases}1&(i,j,k)=(1,2,3),(2,3,1),(3,1,2)\\-1&(i,j,k)=(1,3,2),(2,1,3),(3,2,1)\\0&\mathrm{otherwise}\end{cases}

となる εijk\varepsilon_{ijk} をレビチビタ記号(エディントンのイプシロン)という。

レビチビタ記号の性質とその証明について。

目次
  • レビチビタの積の和の公式

  • ベクトルの外積

  • 3×3の行列式

レビチビタの積の和の公式

j,kεajkεbjk=2δab\displaystyle\sum_{j,k}\varepsilon_{ajk}\varepsilon_{bjk}=2\delta_{ab}

i,j,kεijkεijk=6\displaystyle\sum_{i,j,k}\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{ijk}=6

δab={1a=b0ab\delta_{ab}=\begin{cases}1&a=b\\0&a\neq b\end{cases} はクロネッカーのデルタです。

1つ目の式の証明

a=b=1a=b=1 のとき,左辺の和において 00 でない項は,

ε123ε123\varepsilon_{123}\varepsilon_{123}ε132ε132\varepsilon_{132}\varepsilon_{132}

の2つである。これらはいずれも 11 なので左辺は 22 となる。

a=1,b=2a=1,b=2 のとき,左辺の全ての項が 00 になる。他の場合も同様。

2つ目の式の証明

1つめの式で,a=b=1a=b=1 としたもの,a=b=2a=b=2 としたもの,a=b=3a=b=3 としたものを加えればよい。

ベクトルの外積

aundefined=(a1,a2,a3)\overrightarrow{a}=(a_1,a_2,a_3)bundefined=(b1,b2,b3)\overrightarrow{b}=(b_1,b_2,b_3) に対して,その外積 aundefined×bundefined\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b} の第 ii 成分は,j,kεijkajbk\displaystyle\sum_{j,k}\varepsilon_{ijk}a_jb_k

外積の定義:

aundefined×bundefined=(a2b3a3b2,a3b1a1b3,a1b2a2b1)\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=(a_2b_3-a_3b_2,a_3b_1-a_1b_3,a_1b_2-a_2b_1)

をコンパクトに表現できます。 →内積と外積の意味と嬉しさ

3×3の行列式

det(a11a12a13a21a22a23a31a32a33)=i,j,kεijkai1aj2ak3=i,j,kεijka1ia2ja3k\det\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix} =\displaystyle\sum_{i,j,k}\varepsilon_{ijk}a_{i1}a_{j2}a_{k3}=\sum_{i,j,k}\varepsilon_{ijk}a_{1i}a_{2j}a_{3k}

これは,置換による行列式の定義(および detA=detA\det A=\det A^{\top} であること)から分かります。 →行列式の3つの定義と意味 →サラスの公式

レビチビタ記号を使えばコンパクトに表現できます。

添え字の数が3つの場合を紹介しましたが,添え字の数は一般の nn に拡張できます。

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