攻略! 行列式計算~その2~

定義

detA=σSnsgn(σ)i=1naiσ(i)=σSnsgn(σ) a1σ(1)a2σ(2)anσ(n)\begin{aligned} \det A &= \sum_{\sigma\in S_n}\mathrm{sgn} (\sigma) \prod_{i=1}^na_{i\sigma(i)}\\ &= \sum_{\sigma\in S_n} \mathrm{sgn} (\sigma) \ a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}\cdots a_{n\sigma(n)} \end{aligned}

性質
  1. 単位行列 II に関して detI=1\det I=1

  2. ii 列と jj 列を交換すると行列式は 1-1 倍される(交代性)

  3. 一つの列以外固定して一つの列の関数と見たときに線形性が成立する(多重線形性)

この記事では行列式の練習問題とその解法を紹介します。

問題

例題

次の行列式を求めよ。

  1. λ1000λ20000λn1000λn\left|\begin{matrix} \lambda_1 & 0 & \cdots & \cdots & 0\\ 0 & \lambda_2 & 0 & \cdots & 0\\ \vdots && \ddots && \vdots \\ 0 &\cdots & 0 & \lambda_{n-1} & 0 \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & \lambda_n \end{matrix}\right|(対角行列)

\:

  1. 00λ100λ200λn100λn00\left|\begin{matrix} 0 & \cdots & \cdots & 0 & \lambda_1\\ 0 &\cdots & 0 & \lambda_{2} & 0 \\ \vdots && && \vdots \\ 0 & \lambda_{n-1} & 0 & \cdots & 0\\ \lambda_n & 0 & \cdots & \cdots & 0\\ \end{matrix}\right|

解答

例題1

解答

A=(λ1000λ20000λn1000λn)A = \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & \cdots & \cdots & 0\\ 0 & \lambda_2 & 0 & \cdots & 0\\ \vdots && \ddots && \vdots \\ 0 &\cdots & 0 & \lambda_{n-1} & 0 \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & \lambda_n \end{pmatrix} とおく。

iji \neq j のとき,Aij=0A_{ij} = 0 であるため, σSnsgn(σ)i=1nAiσ(i) \sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_n} \mathrm{sgn} (\sigma) \prod_{i=1}^n A_{i\sigma(i)}\\ のうち,σ=id\sigma = \mathrm{id}(恒等置換)以外の和は 00 になる。

よって detA=A11Ann=λ1λn \det A = A_{11} \cdots A_{nn} = \lambda_1 \cdots \lambda_n となる。

例題2

解答

00λ100λ200λn100λn00=(1)nλ100λ20λn10λn0==(1)n(1)n1(1)1λ1λn=(1)n(n+1)2λ1λn\begin{aligned} &\left|\begin{matrix} 0 & \cdots & \cdots & 0 & \lambda_1\\ 0 &\cdots & 0 & \lambda_{2} & 0 \\ \vdots && && \vdots \\ 0 & \lambda_{n-1} & 0 & \cdots & 0\\ \lambda_n & 0 & \cdots & \cdots & 0\\ \end{matrix}\right|\\ &= (-1)^n \lambda_1 \left|\begin{matrix} 0 &\cdots & 0 & \lambda_{2}\\ \vdots & && \vdots \\ 0 & \lambda_{n-1} & \cdots & 0\\ \lambda_n & \cdots & \cdots & 0\\ \end{matrix}\right|\\ &= \cdots\\ &= (-1)^n (-1)^{n-1} \cdots (-1)^1 \lambda_1 \cdots \lambda_n\\ &= (-1)^{\frac{n(n+1)}{2}} \lambda_1 \cdots \lambda_n \end{aligned}

定義をしっかりチェックしましょう。