攻略！行列式計算～その2～

更新 2023/12/11

定義

$\begin{aligned} \det A &= \sum_{\sigma\in S_n}\mathrm{sgn} (\sigma) \prod_{i=1}^na_{i\sigma(i)}\\ &= \sum_{\sigma\in S_n} \mathrm{sgn} (\sigma) \ a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}\cdots a_{n\sigma(n)} \end{aligned}$

性質

単位行列 $I$ に関して $\det I=1$
$i$ 列と $j$ 列を交換すると行列式は $-1$ 倍される（交代性）
一つの列以外固定して一つの列の関数と見たときに線形性が成立する（多重線形性）

この記事では行列式の練習問題とその解法を紹介します。

問題

例題

次の行列式を求めよ。

$\left|\begin{matrix} \lambda_1 & 0 & \cdots & \cdots & 0\\ 0 & \lambda_2 & 0 & \cdots & 0\\ \vdots && \ddots && \vdots \\ 0 &\cdots & 0 & \lambda_{n-1} & 0 \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & \lambda_n \end{matrix}\right|$ （対角行列）

$\:$

$\left|\begin{matrix} 0 & \cdots & \cdots & 0 & \lambda_1\\ 0 &\cdots & 0 & \lambda_{2} & 0 \\ \vdots && && \vdots \\ 0 & \lambda_{n-1} & 0 & \cdots & 0\\ \lambda_n & 0 & \cdots & \cdots & 0\\ \end{matrix}\right|$

解答

例題1

解答

$A = \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & \cdots & \cdots & 0\\ 0 & \lambda_2 & 0 & \cdots & 0\\ \vdots && \ddots && \vdots \\ 0 &\cdots & 0 & \lambda_{n-1} & 0 \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & \lambda_n \end{pmatrix}$ とおく。

$i \neq j$ のとき， $A_{ij} = 0$ であるため， $\sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_n} \mathrm{sgn} (\sigma) \prod_{i=1}^n A_{i\sigma(i)}\\$ のうち， $\sigma = \mathrm{id}$ （恒等置換）以外の和は $0$ になる。

よって $\det A = A_{11} \cdots A_{nn} = \lambda_1 \cdots \lambda_n$ となる。

例題2

解答

$\begin{aligned} &\left|\begin{matrix} 0 & \cdots & \cdots & 0 & \lambda_1\\ 0 &\cdots & 0 & \lambda_{2} & 0 \\ \vdots && && \vdots \\ 0 & \lambda_{n-1} & 0 & \cdots & 0\\ \lambda_n & 0 & \cdots & \cdots & 0\\ \end{matrix}\right|\\ &= (-1)^n \lambda_1 \left|\begin{matrix} 0 &\cdots & 0 & \lambda_{2}\\ \vdots & && \vdots \\ 0 & \lambda_{n-1} & \cdots & 0\\ \lambda_n & \cdots & \cdots & 0\\ \end{matrix}\right|\\ &= \cdots\\ &= (-1)^n (-1)^{n-1} \cdots (-1)^1 \lambda_1 \cdots \lambda_n\\ &= (-1)^{\frac{n(n+1)}{2}} \lambda_1 \cdots \lambda_n \end{aligned}$