攻略！ 行列式計算～その2～

$A = \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & \cdots & \cdots & 0\\ 0 & \lambda_2 & 0 & \cdots & 0\\ \vdots && \ddots && \vdots \\ 0 &\cdots & 0 & \lambda_{n-1} & 0 \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & \lambda_n \end{pmatrix}$ とおく。

$i \neq j$ のとき，$A_{ij} = 0$ であるため， $$\sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_n} \mathrm{sgn} (\sigma) \prod_{i=1}^n A_{i\sigma(i)}\\$$ のうち，$\sigma = \mathrm{id}$（恒等置換）以外の和は $0$ になる。

よって $$\det A = A_{11} \cdots A_{nn} = \lambda_1 \cdots \lambda_n$$ となる。

$$\begin{aligned} &\left|\begin{matrix} 0 & \cdots & \cdots & 0 & \lambda_1\\ 0 &\cdots & 0 & \lambda_{2} & 0 \\ \vdots && && \vdots \\ 0 & \lambda_{n-1} & 0 & \cdots & 0\\ \lambda_n & 0 & \cdots & \cdots & 0\\ \end{matrix}\right|\\ &= (-1)^n \lambda_1 \left|\begin{matrix} 0 &\cdots & 0 & \lambda_{2}\\ \vdots & && \vdots \\ 0 & \lambda_{n-1} & \cdots & 0\\ \lambda_n & \cdots & \cdots & 0\\ \end{matrix}\right|\\ &= \cdots\\ &= (-1)^n (-1)^{n-1} \cdots (-1)^1 \lambda_1 \cdots \lambda_n\\ &= (-1)^{\frac{n(n+1)}{2}} \lambda_1 \cdots \lambda_n \end{aligned}$$