余因子と余因子行列

例えば，$3\times 3$ 行列 $A=\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\-2&0&1\end{pmatrix}$ に対して $(2,1)$ 余因子を計算してみよう。

$A$ から，$2$ 行目と $1$ 列目を除いた行列 $\begin{pmatrix}2&3\\0&1\end{pmatrix}$ の行列式 $2\times 1-3\times 0=2$ に $(-1)^{2+1}=-1$ をかけた $-2$ が答えである。

例1の行列 $A=\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\-2&0&1\end{pmatrix}$ の余因子行列を計算しよう。

$(2,1)$ 余因子は $-2$ であった。他の8つの余因子も計算して転置を取ると $\begin{pmatrix}5&-2&-3\\-16&7&6\\10&-4&-3\end{pmatrix}$ となる。これが $A$ の余因子行列である。

一般の場合の定理2の証明は少し込み入っているので，$n=3$，$i=2$ の場合の例を見てみる。つまり， $$a_{21}\Delta_{21}+a_{22}\Delta_{22}+a_{23}\Delta_{23}=\det A$$ を確認する。

$\det A\\ =a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}\\ -a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{13}a_{22}a_{31}$

であるが，$a_{21},a_{22},a_{23}$ のどれが登場するかで3グループにわけると，

• まず，$a_{21}$ が登場する部分は $a_{21}(a_{13}a_{32}-a_{12}a_{33})$ となる。これを変形すると $$a_{21}\times(-1)^{2+1}(a_{12}a_{33}-a_{13}a_{32})=a_{21}\Delta_{21}$$ となる。
• 同様に $a_{22}$ が登場する部分は $a_{22}\Delta_{22}$ になる。
• 同様に $a_{23}$ が登場する部分は $a_{23}\Delta_{23}$ になる。