【数I二次方程式】中間テストで出された問題なんですけど全くわかりません。どうして僕の回答が間違っているのかもわかりません

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【数I二次方程式】中間テストで出された問題なんですけど全くわかりません。どうして僕の回答が間違っているのかもわかりません。答えはk=-6の時、共通解x=2です。お願いします🥺

Keith_lark · Accepted Answer

$f(x)$が一解(重解)しか持たないことは無い。(例えば、$x^2-5x+6=0$と$2x^2-14x+24=0$は共に$x=3$を解に持つが$x^2-5x+6=2x^2-14x+24$は$x=3,6$を解に持つ)
故にその部分の仮定が間違い。
以下解答例
$k=0$とすると共通解は一つもない。
$2x^2+kx+4=0$の解を$α,β$、$x^2-x+k=0$の解を$β,γ$として考える。
すると、$α+β=-k/2,αβ=2,β+γ=-1,βγ=k$を満たす。
これを解いて$(α,β,γ,k)=(1,2,-3,-6)$
故に$k=-6$であり、このとき共通解は$x=2$

ipon6 · Answer

2つの方程式の左辺を$=$で結んで1つの方程式として扱っておられますが、そうすると2つの情報が1つの情報になってしまいます。
例えば、$$
\begin{cases} 
x+y=1\ 
2x+3y=1
\end{cases} 
$$という連立方程式を2つ結んで$$x+y=2x+3y$$としてしまうと$x$と$y$の関係しか出てこなくなってしまいます。
なので、数Ⅰの範囲では連立方程式と扱っていわゆる加減法をすれば求められます。

2つの方程式の共通解を$α$とすると、
$$
\begin{cases} 
2α^2+kα+4=0…①\ 
α^2+α+k=0…②
\end{cases} 
$$
となり、①−②×2をすれば
$kα-2α+4-2k=0$
→$(k-2)(α-2)=0$
となり、
(ⅰ)$k=2$のとき
①、②に代入すると、どちらも
$α^2+α+2=0$となり実数解を持たない。
(ⅱ)$α=2$のとき
①、②に代入すると
①→$8+2k+4=0$
②→$4+2+k=0$
よって$k=-6$
よって$k=-6$のとき共通解は$2です。$

【数I二次方程式】中間テストで出された問題なんですけど全くわかりません。どうして僕の回答が間違っているのかもわかりません。答えはk=-6の時、共通解x=2です。お願いします🥺

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