マルコフのディオファントス方程式～東北大AO入試を通して

まず $(1,1,1)$ は方程式の正の整数解である。

次に方程式の正の整数解 $(a,b,c)$ から新たな解が作られることを示す。

方程式に代入することで $a$ は二次方程式 $$t^2 - 3bc t + b^2 +c^2 = 0 \quad \cdots (\ast)$$ の解である。

判別式は $$D = 9b^2c^2-4b^2-4c^2$$ である。

$(\ast)$ が異なる2解を持つことを示す

$(\ast)$ が重解を持つと仮定する。このとき $D = 0$ つまり， $$9b^2c^2 - 4b^2 - 4c^2 = 0$$ が成立する。これを整理すると $$(9b^2-4)(9c^2-4) = 16$$ となる。

$b$ は正の整数であるため，$9b^2-4 > 9-4 = 5 > 0$ であり，$9b^2-4$ は正の整数である。よって $9b^2-4 = 1,2,4,8,16$ であるが，どの場合も $b$ は整数にならない。

こうして矛盾が生じるため，$(\ast)$ は重解を持たない。

新しい解の構成

前段より $(\ast)$ は異なる2実数解を持つ。$a$ とは異なる解を $a'$ とおくと解と係数の関係より $$a+a' = 3bc$$ つまり，$a' = 3bc-a$ を得る。

$a,b,c$ は整数であるため $a'$ も整数であるため，$(a',b,c)$ は元の方程式の整数解である。

特に $a$ が $a,b,c$ のうち最小であれば $$3bc-a > 3a^2-a > 0$$ であるため，新たに正の整数解が得られた。さらにこのとき $a' > a$ である。実際， $$a' - a = 3bc-2a > 3a^2-2a > 0$$ より従う。

無限に解を作るアルゴリズム

以上を元に次のステップから新たに解を見つけることができる。

1. 正の整数解 $(a,b,c)$ を用意する。
2. 対称性より $a$ を最小の数（$b,c$ に同じ整数があることは認める）として考える。
3. $(3bc-a,b,c)$ が新たな正の整数解として得られる。

前段で述べた通り $3bc-a > a$ であるため，必ず元の解と異なるものが得られる。

さらに，このアルゴリズムで解の各成分が減少することはないため，繰り返し操作を行ったとしても元の解に戻ることはない。

こうしてこのアルゴリズムで無数に正の整数解が得られることが示された。

$F_n$ を $n$ 番目のフィボナッチ数とすると $$F_{n+1} F_{n-1} - {F_n}^2 = (-1)^n$$ が成立する。（数学的帰納法で証明できる）→ フィボナッチ数列の8つの性質（一般項・黄金比・互いに素）

特に $n$ を $2n$ で置き換えると $$F_{2n+1} F_{2n-1} - {F_{2n}}^2 = 1$$ を得る。

ここで $F_{2n} = F_{2n+1} - F_{2n-1}$ に注意すると左辺は $$\begin{aligned} &F_{2n+1} F_{2n-1} - {F_{2n}}^2 \\ &= F_{2n+1} F_{2n-1} - (F_{2n+1} - F_{2n-1})^2 \\ &= -{F_{2n+1}}^2 - {F_{2n-1}}^2 + 3 F_{2n+1} F_{2n-1} \end{aligned}$$ と変形される。

よって $${F_{2n+1}}^2 + {F_{2n-1}}^2 + 1^2 - 3 F_{2n+1} F_{2n-1} = 0$$ を得る。

こうして $(F_{2n+1}, F_{2n-1} , 1)$ は元の等式の解である。

$n \neq m$ に対して $F_{2n+1} \neq F_{2m+1}$ であるため，無限に解が存在することが分かる。