実数解の意味・二次方程式の実数解の個数

更新日時 2022/09/03

方程式の実数解について整理しました。実数解の意味,2次方程式の実数解の個数,関連する話題を紹介します。

目次
  • 実数解とは

  • 実数解の個数

  • 発展

実数解とは

実数解とは,方程式の解の中で実数のもののことです。

実数解を持つ例

x21=0x^2-1=0 という2次方程式は,x=1,1x=1,-1 という2つの実数解を持ちます。

実数解は「グラフと xx 軸の共有点」に対応します。例えば,y=x21y=x^2-1 のグラフと xx 軸の共有点は (1,0)(1,0)(1,0)(-1,0) です。x=1x=-1x=1x=1 という実数解に対応しています。 実数解の個数とグラフ

実数解を持たない例

x2=1x^2=-1 という2次方程式は実数解を持ちません。2乗して 1-1 になる実数は存在しませんね。

方程式を移項すると x2+1=0x^2+1=0 となりますが,左辺を表す y=x2+1y=x^2+1 のグラフは xx 軸と交わりません。 実数解のを持たない例

なお,x2=1x^2=-1 は実数解は持ちませんが,複素数の範囲で考えると x=i,ix=i,-i が解です。虚数解です。

実数解の個数

2次方程式の実数解の個数は,判別式 DD の符号からわかります。

2次方程式 ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0 について,判別式を D=b24acD=b^2-4ac とします。

2次方程式の実数解の個数
  • D>0    D > 0\iff 異なる実数解2つ
  • D=0    D=0\iff 実数解を1つ(重解)
  • D<0    D <0\iff 実数解なし
例題

2x26x+3=02x^2-6x+3=0 の実数解の個数を求めよ。

解答

判別式は,
D=(6)24×2×3=3624=12>0D=(-6)^2-4\times 2\times 3\\=36-24=12>0

となりプラス。つまり,実数解を2つ持つ。

このように,判別式の符号を見るだけで,方程式を実際に解かなくても実数解の個数がわかります。

練習問題

(1) x23x+5=0x^2-3x+5=0
(2) 9x2+6x1=0-9x^2+6x-1=0

解答

(1) 判別式は,(3)24×1×5=11<0(-3)^2-4\times 1\times 5=-11<0 より実数解を持たない。

(2) 判別式を DD とすると,D4=32(9)×(1)=0\dfrac{D}{4}=3^2-(-9)\times (-1)=0 より実数解は1つ(重解)。

なお,判別式については二次方程式の判別式についての知識まとめでさらに詳しく解説しています。

発展

関連する話題を紹介します。少しむずかしいです。以下では「実数係数多項式=0」という形の方程式を考えます。また,重解はそれぞれ別の解とカウントします)。

二次方程式と書くか2次方程式と書くか悩ましいです。