実数解の意味・二次方程式の実数解の個数

実数解とは，方程式の解の中で実数のもののことです。

実数解は「グラフと $x$ 軸の共有点」に対応します。例えば，$y=x^2-1$ のグラフと $x$ 軸の共有点は $(1,0)$ と $(-1,0)$ です。$x=-1$ と $x=1$ という実数解に対応しています。

実数解を持たない例

$x^2=-1$ という2次方程式は実数解を持ちません。2乗して $-1$ になる実数は存在しませんね。

方程式を移項すると $x^2+1=0$ となりますが，左辺を表す $y=x^2+1$ のグラフは $x$ 軸と交わりません。

なお，$x^2=-1$ は実数解は持ちませんが，複素数の範囲で考えると $x=i,-i$ が解です。虚数解です。

2次方程式の実数解の個数は，判別式 $D$ の符号からわかります。

2次方程式 $ax^2+bx+c=0$ について，判別式を $D=b^2-4ac$ とします。

このように，判別式の符号を見るだけで，方程式を実際に解かなくても実数解の個数がわかります。

なお，判別式については判別式まとめ【2次方程式の実数解・x軸との共有点の個数】でさらに詳しく解説しています。

関連する話題を紹介します。少しむずかしいです。以下では「実数係数多項式＝０」という形の方程式を考えます。また，重解はそれぞれ別の解とカウントします）。

• $n$ 次方程式の解は複素数の範囲で $n$ 個あります。
  →代数学の基本定理とその初等的な証明

• 虚数解は偶数個です。虚数解があれば，その共役複素数も解になるからです。
  →共役複素数の覚えておくべき性質

• よって，三次方程式の実数解の個数は $1$ 個または $3$ 個です。

• 四次方程式の実数解の個数は $0,2,4$ 個のいずれかです。