コーシーの積分公式とその応用～グルサの定理・モレラの定理

$$f(z) = \dfrac{1}{2\pi i} \oint_{\partial D} \dfrac{f(\zeta)}{\zeta - z} d\zeta$$

を証明する。

右辺の被積分関数は，$\overline{D}$ 内で $\zeta\neq z$ なら正則なので，積分経路が変形できる。そこで，経路を $z$ を中心とする半径 $\varepsilon$ の小さい円周とする。

$$\dfrac{1}{2\pi i} \oint_{\partial D} \dfrac{f(\zeta)}{\zeta - z} d\zeta=\dfrac{1}{2\pi i} \oint_{|\zeta-z|=\varepsilon} \dfrac{f(\zeta)}{\zeta - z} d\zeta$$

右辺を，$\zeta = z + \varepsilon e^{it}$ というパラメタ表示で書き直すと，

$$\int_0^{2\pi} \dfrac{f(z + \varepsilon e^{it})}{\varepsilon e^{it}} \dfrac{i\varepsilon e^{it}}{2\pi i} dt = \int_0^{2\pi} f(z + \varepsilon e^{it}) \; \dfrac{dt}{2\pi}$$

$\varepsilon$ が十分 $0$ に近いなら，$f$ の連続性より右辺は $f(z)$ にいくらでも近づく。

実際，$\varepsilon \to 0$ で上の式の右辺が $f(z)$ に収束することを示そう。

$$\begin{aligned} &\left| \int_0^{2\pi} f(z + \varepsilon e^{it}) \; \dfrac{dt}{2\pi} - f(z) \right|\\ &= \left| \int_0^{2\pi} f(z + \varepsilon e^{it}) \; \dfrac{dt}{2\pi} - \int_0^{2\pi} f(z) \dfrac{dt}{2\pi} \right|\\ &= \left| \int_0^{2\pi} \{ f(z + \varepsilon e^{it})-f(z) \} \; \dfrac{dt}{2\pi}\right|\\ &\leqq \sup_{|\zeta - z| = \varepsilon} |f(\zeta) - f(z)| \end{aligned}$$ となるが，$f(\zeta)$ は $\zeta = z$ で連続であるため，$\varepsilon \to 0$ で $\displaystyle \sup_{|\zeta - z| = \varepsilon} |f(\zeta) - f(z)|$ は $0$ に収束する。

したがって $$\lim_{\varepsilon \to 0} \int_0^{2\pi} f(z + \varepsilon e^{it}) \; \dfrac{dt}{2\pi} = f(z)$$ である。

$z_0 \in \mathbb{C} , R \in \mathbb{R}_{>0}$ を $\Delta (z_0,R) \subset D$ を満たすように任意にとる。

$\Delta (z_0 , R)$ に対して $\varepsilon > 0$ を任意にとったとき，$n$ を十分大きくとると，$\sup_{z \in \Delta (z_0,R)} |f_n' (z) - f'(z)| < \varepsilon$ となることを示せばよい。

$\Delta (z_0 , R)$ の点 $z$ を任意に取る。$D$ は開集合（領域の定義）であるため，$r > 0$ を十分小さくとることで $\Delta (z_0 , R + r) \subset D$ とできる。 $f_n$ は $D$ 広義一様収束することから，$\Delta (z_0 , R + r)$ で一様収束する。すなわち，$n$ を十分大きくとると $\sup_{z \in \Delta (z_0 , R+r)} |f_n (z) - f (z)| < \varepsilon$ とできる。

グルサの定理より $$f'_n (z) = \dfrac{1}{2\pi i} \oint_{\partial \Delta (z,r)} \dfrac{f_n(\zeta)}{(\zeta - z)^{2}} \; d\zeta\\ f' (z) = \dfrac{1}{2\pi i} \oint_{\partial \Delta (z,r)} \dfrac{f(\zeta)}{(\zeta - z)^{2}} \; d\zeta$$ である。

$n$ を十分大きくとり，グルサの定理を用いると $$\begin{aligned} &|f_n' (z) - f'(z)|\\ &= \left| \dfrac{1}{2\pi i} \oint_{\partial \Delta (z,r)} \dfrac{f_n(\zeta)}{(\zeta - z)^{2}} \; d\zeta - \dfrac{1}{2\pi i} \oint_{\partial \Delta (z,r)} \dfrac{f(\zeta)}{(\zeta - z)^{2}} \; d\zeta \right|\\ &= \left| \dfrac{1}{2\pi i} \oint_{\partial \Delta (z,r)} \dfrac{f_n(\zeta) - f(\zeta)}{(\zeta - z)^{2}} \; d\zeta \right|\\ &= \dfrac{1}{2\pi r^2} \oint_{\partial \Delta (z,r)} |f_n (\zeta) - f(\zeta)| \; d\zeta\\ &\leqq \dfrac{1}{2\pi r^2} \oint_{\partial \Delta (z,r)} \sup_{\zeta \in \Delta (z_0 , R+r)} |f_n (\zeta) - f(\zeta)| \; d\zeta\\ &= \dfrac{1}{2\pi r^2} \cdot 2\pi r^2 \cdot \varepsilon = \varepsilon \end{aligned}$$ すなわち $$\sup_{z \in \Delta (z_0,R)} |f_n' (z) - f'(z)| < \varepsilon$$ とできる。こうして $f_n'$ は $f'$ に広義一様収束する。

以下では，単に曲線と書いた場合，$D$ 内の区分的になめらかな曲線とする。

1点 $a$ を任意に固定する。$\Gamma_z$ を $a$ と $z$ を結ぶ曲線とする。 $$F(z) = \int_{\Gamma_z} f(\zeta) \; d\zeta$$ と $F(z)$ を定める。$\Gamma_z'$ を $a$ と $z$ を結ぶ他の曲線とする。（$a$ から $z$ に向けて向きを付ける。）このとき $\Gamma_z - \Gamma_z'$ は区分的になめらかな閉曲線であるため，仮定から $$\oint_{\Gamma_z - \Gamma_z'} f(\zeta) \; d\zeta = 0$$ である。よって $$\oint_{\Gamma_z} f(\zeta) \; d\zeta = \oint_{\Gamma_z'} f(\zeta) \; d\zeta + \oint_{\Gamma_z - \Gamma_z'} f(\zeta) \; d\zeta =\oint_{\Gamma_z'} f(\zeta) \; d\zeta$$ となる。すなわち $\Gamma_z$ の選び方に寄らず，$F(z)$ の値が決まる。以下 $\Gamma_z$ は $a$ と $z$ を結ぶ直線としてよい。

$F'(z) = f(z)$ を示す。$\varepsilon > 0$ を任意にとる。$f$ の連続性から，$\delta$ を十分小さくとることで $|\zeta - z| < \delta$ なる任意の $\zeta$ で $|f(\zeta) - f(z)| < \varepsilon$ となる。

$h$ を十分 $0$ に近いもの（$|h| < \delta$）とする。

$L_{z,z+h}$ を $z$ と $z+h$ を結ぶ直線とする。（$z$ から $z+h$ に向けて向きを付ける。）このとき，$\Gamma_z + L_{z,z+h} - \Gamma_{z+h}$ は $a,z,z+h$ を頂点とする三角形である。すなわち区分的になめらかな閉曲線となる。

よって仮定から $$\oint_{\Gamma_z + L_{z,z+h} - \Gamma_{z+h}} f(z) \; dz = 0$$ である。式を変形することで $$\begin{aligned} \oint_{L_{z,z+h}} f(z) \; dz &= \oint_{\Gamma_{z+h} - \Gamma_z} f(z) \; dz\\ &= F(z+h) - F(z) \end{aligned}$$ を得る。

$$\begin{aligned} &\left| \dfrac{F(z+h) - F(z)}{h} - f(z) \right|\\ &= \left| \dfrac{1}{h} \oint_{L_{z,z+h}} f(\zeta) \; d\zeta - f(z) \right|\\ &= \left| \dfrac{1}{h} \oint_{L_{z,z+h}} (f(\zeta) - f(z)) \; d\zeta \right|\\ &\leqq \dfrac{1}{h} \oint_{L_{z,z+h}} |f(\zeta) - f(z)| \; d\zeta\\ &\leqq \dfrac{1}{h} \oint_{L_{z,z+h}} \sup_{|\zeta - z| \leqq |h|} |f(\zeta) - f(z)| \; d\zeta\\ &= \sup_{|\zeta - z| \leqq |h|} |f(\zeta) - f(z)| \end{aligned}$$

$h$ の取り方より $\displaystyle \sup_{|\zeta - z| \leqq |h|} |f(\zeta) - f(z)| < \varepsilon$ である。よって $$\lim_{h \to 0} \dfrac{F(z+h) - F(z)}{h} = f(z)$$ である。こうして $F$ は複素微分可能，すなわち正則である。グルサの定理の系より $F$ の導関数である $f$ も正則である。