ワイエルシュトラスのM判定法

更新 2023/02/28

ワイエルシュトラスのM判定法は関数列の一様収束性を示すのに使える定理です。

ワイエルシュトラスのM判定法（優級数定理）

$\{ f_n \}$ を集合 $A$ 上の実数値関数列とする。

各 $n$ に対して，任意の $x\in A$ に対して $|f_n (x)| < M_n$ となる定数 $M_n$ があり， $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} M_n$ が収束するなら， $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_n (x)$ は一様収束する。

※上記の「実数値関数列」を「複素数値関数列」としても定理は成立します。

この記事では「一様収束の意味・一様収束だとなぜ嬉しいか？」を確認した上で，ワイエルシュトラスのM判定法を証明します。

一様収束

定義関数列 {fn(x)}\{ f_n (x) \}{fn​(x)} が f(x)f(x)f(x) に一様収束するとは，
lim⁡n→∞sup⁡x∈A∣f(x)−fn(x)∣=0\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sup_{x \in A} |f(x) - f_n(x)| = 0n→∞lim​x∈Asup​∣f(x)−fn​(x)∣=0
が成立することを表します。大雑把に言うと fn(x)f_n(x)fn​(x) が f(x)f(x)f(x) に（xxx の値によらずに）一気に近づくというイメージです。→各点収束と一様収束の違いと具体例
嬉しさ「一様収束」に関して，以下の性質が成立するので嬉しいです。
連続関数列の一様収束先は連続である。
一様収束するときは積分と極限が交換できる。つまり {fn(x)}\{ f_n (x) \}{fn​(x)} が f(x)f(x)f(x) に一様収束するとき，
∫lim⁡n→∞fn(x)dx=lim⁡n→∞∫fn(x)dx
\int \lim_{n \to \infty} f_n (x) dx = \lim_{n \to \infty} \int f_n (x) dx
∫n→∞lim​fn​(x)dx=n→∞lim​∫fn​(x)dx
である。
関数の無限和が一様収束するとき，項別微分・項別積分できる。つまり，関数列の和 ∑n=1∞fn(x)\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_n (x)n=1∑∞​fn​(x) が F(x)F(x)F(x) に一様収束するとき，
F′(x)=∑n=1∞fn′(x)
F'(x) = \sum_{n=1}^{\infty} f_n ' (x)
F′(x)=n=1∑∞​fn′​(x)
∫F(x)dx=∑n=1∞∫fn(x)dx
\int F(x) dx = \sum_{n=1}^{\infty} \int f_n (x) dx
∫F(x)dx=n=1∑∞​∫fn​(x)dx
2の詳細は 積分と極限（無限和）の交換，3の詳細は 項別微分・項別積分 で解説しています。
※2に関する注意点：

一様収束するとき，積分と極限が交換できましたが，微分と極限は交換できません。例えば fn(x)=1nsin⁡nxf_n (x) = \dfrac{1}{n} \sin nxfn​(x)=n1​sinnx とすると fnf_nfn​ は 000 に収束しますが，fn′(x)=cos⁡nxf_n' (x) = \cos nxfn′​(x)=cosnx は 000 に収束しません。

M判定法の証明

証明

まず，各 $x$ に対して， $\displaystyle F_n (x) = \sum_{n=1}^N f_n (x)$ は収束する（比較判定法※）。

よって， $F(x)=\displaystyle \lim_{n \to \infty} F_n (x)$ とおく。これが一様収束であることを示す。

任意の $x \in A$ で $\begin{aligned} |F (x) - F_N (x)| &= \sum_{n=N+1}^{\infty} |f_n (x)|\\ &\leqq \sum_{n=N+1}^{\infty} M_n \end{aligned}$ である。

$N \to \infty$ で $\displaystyle \sum_{n=N+1}^{\infty} M_n \to 0$ であるため $\lim_{N \to \infty} \sup_{x \in A} |F (x) - F_N (x)| = 0$ を得る。

※「 $f_n$ よりも $M_n$ の方が強い」かつ「 $M_n$ による級数が収束する」ので，より弱い $f_n$ による級数も収束する，というイメージです。

ワイエルシュトラスのM判定法は解析の分野で頻繁に登場します。